Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Diberikan informasi sebagai berikut:
$$S_{0} = 100 ; \alpha = 0{,}08 ; \sigma = 0{,}30 ; \delta = 0$ ; t = 1$$
Catat bahwa \(\alpha\) dan \(\sigma\) masing-masing menyatakan rata-rata dan standar deviasi dari harga saham. Sedangkan \(\delta\) dan \(t\) adalah imbal hasil dividen tahunan dari saham dan waktu (yang dinyatakan dalam satuan tahun). Selain itu diberikan informasi bahwa harga saham pada waktu ke-\(t\), yang dinotasikan dengan \(S_{t}\), mengikuti model pergerakan harga saham sebagai berikut.
$$\ln\left(\frac{S_{t}}{S_{0}}\right) = \left(\alpha – \delta – \tfrac{1}{2}\sigma^{2}\right)t + \sigma\sqrt{t}\,Z, \qquad Z \sim N(0,1)$$
dengan \(Z \sim N (0,1)\). Berapakah nilai dari \(\mathbb{P}\left(S_{t} > 105\right)\) ? Bulatkan jawaban anda hingga satuan terdekat.
a. Kurang dari 46%
b. Lebih dari 46%, akan tetapi kurang dari 47%
c. Lebih dari 47%, akan tetapi kurang dari 48%
d. Lebih dari 48%, akan tetapi kurang dari 49%
e. Lebih dari 49%
| Diketahui |
|
| Rumus yang digunakan | Formula harga saham di waktu t berdasarkan distribusi normal harga saham: $$S_{t} = S_{0}\,e^{\left(\alpha – \delta – \frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t + \sigma\sqrt{t}\,Z}$$ dengan \(Z \sim N(0,1)\) Berdasarkan Geometric Brownian Motion, return saham berdistribusi normal sebagai berikut: $$ \ln\left(\frac{S_{t}}{S_{0}}\right) \sim N\left(\left(\alpha – \delta – \tfrac{1}{2}\sigma^{2}\right), \sigma^{2}\right)$$ Cara ubah distribusi normal ke normal standar: $$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$ |
| Proses pengerjaan | Berdasarkan data yang diketahui, dapat dihitung nilai berikut: $$\begin{aligned} Selanjutnya akan dicari nilai dari \(\mathbb{P}\left(S_{t} > 105\right)\): $$\begin{aligned} Jadi, nilai dari \(\mathbb{P}\left(S_{t} > 105\right)\) adalah: Lebih dari 48%, akan tetapi kurang dari 49%. |
| Jawaban | d. Lebih dari 48%, akan tetapi kurang dari 49% |