Pembahasan Ujian PAI: A10 – No. 14 – April 2024

Jika jangka anuitas 20 tahun, pembayarannya 1,072 miliar per tahun.

$$a_{\overline{n}|i} = \frac{1 – (1 + i)^{-n}}{i}$$

Dari soal dapat diketahui bahwa PV kedua anuitas berjangka tersebut sama, yakni sebesar 10 Miliar, tetapi dengan jumlah pembayaran dan jangka anuitas yang berbeda.

Dengan demikian, dapat dibuat dalam bentuk persamaan:

$$PV(\text{anuitas 10 tahun}) = PV(\text{anuitas 20 tahun})$$

Selesaikan persamaan:
$$1{,}538 \times a_{\overline{10}|i} = 1{,}072 \times a_{\overline{20}|i}$$
$$\frac{a_{\overline{10}|i}}{a_{\overline{20}|i}} = \frac{1{,}072}{1{,}538} = 0{,}697$$
$$\frac{1 – (1 + i)^{-10}}{i} \times \frac{i}{1 – (1 + i)^{-20}} = 0{,}697$$
$$\frac{1 – (1 + i)^{-10}}{1 – (1 + i)^{-20}} = 0{,}697$$
$$\frac{1 – v^{10}}{1 – v^{20}} = 0{,}697$$
$$1 – v^{10} = 0{,}697\left(1 – v^{20}\right)$$
$$1 – v^{10} = 0{,}697\left(1 – v^{10}\right)\left(1 + v^{10}\right)$$
$$1 = 0{,}697\left(1 + v^{10}\right)$$
$$v = \left(\frac{1}{0{,}697} – 1\right)^{\frac{1}{10}}$$
$$v = 0{,}92007$$

Maka diperoleh:

$$\frac{1}{1 + i} = 0{,}92007$$
$$i = \frac{1}{0{,}92007} – 1$$
$$i = 0{,}08687 \text{ atau } 8{,}69\%$$

Dengan demikian, nilai \(i\) sebesar 0,08687 atau 8,69%.