Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | Mei 2017 |
| Nomor Soal | : | 5 |
SOAL
Diberikan data sebagai berikut:
- Sebuah portfolio terdiri dari 100 risiko berdistribusi identik dan saling bebas (iid).
- Banyaknya klaim pada setiap risiko berdistribusi Poisson dengan rata-rata (mean) adalah \(\lambda \).
- The prior distribution dari \(\lambda \) adalah:
\(\pi \left( \lambda \right) = \frac{{{{\left( {50\lambda } \right)}^4} \cdot \exp \left( { – 50\lambda } \right)}}{{6\lambda }}\); \(\lambda > 0\)
Selama tahun pertama, pengalaman kerugian yang diamati adalah sebagai berikut:
| Banyaknya Klaim | Banyaknya Risiko |
| 0 | 90 |
| 1 | 7 |
| 2 | 2 |
| 3 | 1 |
| Total | 100 |
Tentukan ekspektasi Bayesian dari banyaknya klaim pada tahun kedua untuk portfolio ini
- 8
- 10
- 11
- 12
- 14
| Diketahui | Diberikan data sebagai berikut:- Sebuah portfolio terdiri dari 100 risiko berdistribusi identik dan saling bebas (iid).
- Banyaknya klaim pada setiap risiko berdistribusi Poisson dengan rata-rata (mean) adalah \(\lambda \).
- The prior distribution dari \(\lambda \) adalah:
\(\pi \left( \lambda \right) = \frac{{{{\left( {50\lambda } \right)}^4} \cdot \exp \left( { – 50\lambda } \right)}}{{6\lambda }}\); \(\lambda > 0\)
Selama tahun pertama, pengalaman kerugian yang diamati adalah sebagai berikut: | Banyaknya Klaim | Banyaknya Risiko | | 0 | 90 | | 1 | 7 | | 2 | 2 | | 3 | 1 | | Total | 100 |
|
| Rumus yang digunakan | \({\pi _{\left. \Theta \right|X}}\left( {\left. \theta \right|x} \right) = {f_{\left. X \right|\Theta }}\left( {\left. x \right|\theta } \right){\pi _\Theta }\left( \theta \right)\); \({P_c} = {\alpha ^*}{\theta ^*} = \frac{{{\alpha ^*}}}{{{\beta ^*}}} = \frac{{\alpha + n\bar x}}{{\beta + n}}\) Poisson: \(f\left( x \right) = \frac{{{\lambda ^x}\exp \left[ { – \lambda } \right]}}{{x!}}\); \(E\left[ X \right] = \lambda \)
Gamma: \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\Gamma \left( \alpha \right){\theta ^\alpha }}}{x^{\alpha – 1}}\exp \left[ { – \frac{x}{\theta }} \right]\); |
| Proses pengerjaan | Dari soal diperoleh \(\sum {{X_i}} = 0\left( {90} \right) + 1\left( 7 \right) + 2\left( 2 \right) + 3\left( 1 \right) = 14\) Karena diketahui banyaknya klaim setiap risiko berdistribusi Poisson, maka model untuk banyaknya klaim \({f_{\left. X \right|\lambda }}\left( {\left. x \right|\lambda } \right) \propto {\lambda ^{\sum {{X_i}} }}\exp \left[ { – n\lambda } \right] = {\lambda ^{14}}\exp \left[ { – 100\lambda } \right]\) |
| Distribusi posteriornya adalah
\({\pi _{\left. \Lambda \right|X}}\left( {\left. \lambda \right|x} \right) \propto {\lambda ^{14}}\exp \left[ { – 100\lambda } \right]\frac{{{{\left( {50\lambda } \right)}^4} \cdot \exp \left( { – 50\lambda } \right)}}{{6\lambda }} = {\lambda ^{17}}\exp \left[ { – 150\lambda } \right]\) |
| Jadi distribusi posteriornya adalah gamma dengan \({\alpha ^*} = 17 + 1 = 18\) dan \({\beta ^*} = 150\). Sehingga ekspektasi Bayesian-nya adalah
\({P_c} = 100\frac{{{\alpha ^*}}}{{{\beta ^*}}} = 100\frac{{18}}{{150}} = 12\) |
| Jawaban | d. 12 |
