Pembahasan Ujian PAI: A70 – No. 5 – Mei 2017

1. Sebuah portfolio terdiri dari 100 risiko berdistribusi identik dan saling bebas (iid).
2. Banyaknya klaim pada setiap risiko berdistribusi Poisson dengan rata-rata (mean) adalah \(\lambda \).
3. The prior distribution dari \(\lambda \) adalah:
   \(\pi \left( \lambda \right) = \frac{{{{\left( {50\lambda } \right)}^4} \cdot \exp \left( { – 50\lambda } \right)}}{{6\lambda }}\);  \(\lambda > 0\)

Selama tahun pertama, pengalaman kerugian yang diamati adalah sebagai berikut:

Poisson: \(f\left( x \right) = \frac{{{\lambda ^x}\exp \left[ { – \lambda } \right]}}{{x!}}\); \(E\left[ X \right] = \lambda \)
Gamma: \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\Gamma \left( \alpha \right){\theta ^\alpha }}}{x^{\alpha – 1}}\exp \left[ { – \frac{x}{\theta }} \right]\);

Karena diketahui banyaknya klaim setiap risiko berdistribusi Poisson, maka model untuk banyaknya klaim

\({f_{\left. X \right|\lambda }}\left( {\left. x \right|\lambda } \right) \propto {\lambda ^{\sum {{X_i}} }}\exp \left[ { – n\lambda } \right] = {\lambda ^{14}}\exp \left[ { – 100\lambda } \right]\)

\({\pi _{\left. \Lambda \right|X}}\left( {\left. \lambda \right|x} \right) \propto {\lambda ^{14}}\exp \left[ { – 100\lambda } \right]\frac{{{{\left( {50\lambda } \right)}^4} \cdot \exp \left( { – 50\lambda } \right)}}{{6\lambda }} = {\lambda ^{17}}\exp \left[ { – 150\lambda } \right]\)

\({P_c} = 100\frac{{{\alpha ^*}}}{{{\beta ^*}}} = 100\frac{{18}}{{150}} = 12\)