Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Agustus 2019 |
| Nomor Soal |
: |
13 |
SOAL
Besar klaim berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 5.000. Sebuah perusahaan asuransi membayar manfaat untuk setiap klaim dengan excess deductible sebesar 1.000. Hitung standar deviasi dari besaran klaim yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi untuk satu klaim, termasuk kemungkinan besaran manfaat yang dibayarkan adalah 0. (Pilihlah jawaban yang paling mendekati)
- 4.800
- 4.900
- 5.000
- 5.100
- 5.200
| Diketahui |
- Besar klaim berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 5.000.
- Sebuah perusahaan asuransi membayar manfaat untuk setiap klaim dengan excess deductible sebesar 1.000.
|
| Rumus yang digunakan |
Eksponensial: \(F\left( x \right) = 1 – \exp \left[ { – \frac{x}{\theta }} \right]\), \(E\left[ X \right] = \theta \), \(E\left[ {{X^2}} \right] = 2{\theta ^2}\) dan \(Var\left( X \right) = {\theta ^2}\) |
| Proses pengerjaan |
Misalkan \(X\) jumlah kejadian dan \(Y = \max \left( {X – 1,000} \right)\) besar yang dibayarkan \(E\left[ X \right] = 5,000\) dan \(Var\left( X \right) = {5,000^2}\) dengan \(\Pr \left( {X > 1,000} \right) = 1 – F\left( {1,000} \right) = \exp \left[ { – \frac{{1,000}}{{5,000}}} \right] = 0.818731\) |
|
Distribusi dari \(Y\) bersyarat \(X > 1,000\) merupakan distribusi eksponensial dengan rata-rata 5,000. Jadi untuk \(Y = 0\) peluangnya adalah \(1 – 0.818731 = 0.181269\) dan untuk manfaat berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 5,000 dan memiliki excess deductible sebesar 1,000 peluang adalah \(0.818731\) |
|
\(E\left( Y \right) = 0.181269\left( 0 \right) + 0.818731\left( {5,000} \right) = 4,093.655\)
\(E\left( {{Y^2}} \right) = 0.181269\left( 0 \right) + 0.818731\left( 2 \right)\left( {{{5,000}^2}} \right) = 40,936,550\)
\(Var\left( Y \right) = E\left[ {{Y^2}} \right] – {\left( {E\left[ Y \right]} \right)^2} = 40,936,550 – {4093.655^2} = 24,178,538.74\)
\(Std\left( Y \right) = \sqrt {Var\left( Y \right)} = \sqrt {24,178,538.74} = 4,917.167756\) |
| Jawaban |
b. 4.900 |
