Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2014 |
| Nomor Soal |
: |
26 |
SOAL
Diketahui jumlah klaim mengikuti distribusi negative binomial dengan parameter r dan \(\beta \) = 3. Ukuran klaim mengikuti distribusi berikut: klaim sebesar 1, kemungkinan 0,4, klaim sebesar 10, kemungkinan 0,4 dan klaim sebesar 100 kemungkinan 0,2. Jumlah klaim independen terhadap ukuran klaim. Tentukan jumlah klaim yang dibutuhkan untuk aggregate losses di dalam 10% dari expected aggregate losses dengan probabilitas sebesar 95%.
- Kurang dari 1200
- Antara 1200 dan 1600
- Antara 1600 dan 2000
- Lebih dari 2000
| Diketahui |
- \(\beta \) = 3
- klaim sebesar 1, kemungkinan 0,4,
- klaim sebesar 10, kemungkinan 0,4
- klaim sebesar 100 kemungkinan 0,2
- N = Frekuensi
- S = Besar Klaim
- L = Aggregate kerugian
- \({\lambda _0}\) = Toleransi
|
| Rumus yang digunakan |
- Jumlah klaim = \(\frac{{{\lambda _0} \cdot Var(L)}}{{{\rm E}{{\left[ L \right]}^2}}} \cdot {\rm E}\left[ N \right]\)
- \({\rm E}\left[ N \right] = r\beta \)
- \(Var(N) = r\beta (1 + \beta )\)
- \({\rm E}\left[ S \right] = {n_1}{p_1} + {n_2}{p_2} + {n_3}{p_3}\)
- \({\rm E}\left[ {{S^2}} \right] = {n_1}^2{p_1} + {n_2}^2{p_2} + {n_3}^2{p_3}\)
- \(Var(S) = {\rm E}\left[ {{S^2}} \right] – {\left( {{\rm E}\left[ S \right]} \right)^2}\)
- \({\rm E}\left[ L \right] = {\rm E}\left[ N \right] \cdot {\rm E}\left[ N \right]\)
- \(Var(L) = {\rm E}\left[ N \right] \cdot Var(S) + Var(N) \cdot {\left( {{\rm E}\left[ S \right]} \right)^2}\)
|
| Proses pengerjaan |
\({\rm E}\left[ N \right] = r\beta = 3r\)
\(Var(N) = r\beta (1 + \beta ) = 12r\)
\({\rm E}\left[ S \right] = {n_1}{p_1} + {n_2}{p_2} + {n_3}{p_3} = 1(0,4) + 10(0,4) + 100(0,2) = 24,4\)
\({\rm E}\left[ {{S^2}} \right] = {n_1}^2{p_1} + {n_2}^2{p_2} + {n_3}^2{p_3} = {1^2}(0,4) + {10^2}(0,4) + {100^2}(0,2) = 2.040,4\)
\(Var(S) = {\rm E}\left[ {{S^2}} \right] – {\left( {{\rm E}\left[ S \right]} \right)^2} = 1.445,04\)
\({\rm E}\left[ L \right] = {\rm E}\left[ N \right] \cdot {\rm E}\left[ N \right] = 73,2r\)
\(Var(L) = {\rm E}\left[ N \right] \cdot Var(S) + Var(N) \cdot {\left( {{\rm E}\left[ S \right]} \right)^2}\)
\(Var(L) = 3r(1.445,04) + 12r{(24,4)^2} = 11.479,44r\)
\(95\% CI:{Z_{0,95}} = 1,96\)
Toleransi \({\lambda _{\rm{0}}} = {\left( {\frac{{1.96}}{{10\% }}} \right)^2} = 384,16\)
Jumlah klaim \(= \frac{{{\lambda _0} \cdot Var(L)}}{{{\rm E}{{\left[ L \right]}^2}}} \cdot {\rm E}\left[ N \right] = \frac{{384,16(11.479,44r)}}{{{{(73,2r)}^2}}}(3r) = 2.469,06\) |
| Jawaban |
d. Lebih dari 2000 |
