Pembahasan Ujian PAI: A70 - No. 26 - November 2014

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Permodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	November 2014
Nomor Soal	:	26

SOAL

Diketahui jumlah klaim mengikuti distribusi negative binomial dengan parameter r dan \(\beta \) = 3. Ukuran klaim mengikuti distribusi berikut: klaim sebesar 1, kemungkinan 0,4, klaim sebesar 10, kemungkinan 0,4 dan klaim sebesar 100 kemungkinan 0,2. Jumlah klaim independen terhadap ukuran klaim. Tentukan jumlah klaim yang dibutuhkan untuk aggregate losses di dalam 10% dari expected aggregate losses dengan probabilitas sebesar 95%.

Kurang dari 1200
Antara 1200 dan 1600
Antara 1600 dan 2000
Lebih dari 2000

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	\(\beta \) = 3 klaim sebesar 1, kemungkinan 0,4, klaim sebesar 10, kemungkinan 0,4 klaim sebesar 100 kemungkinan 0,2 N = Frekuensi S = Besar Klaim L = Aggregate kerugian \({\lambda _0}\) = Toleransi
Rumus yang digunakan	Jumlah klaim = \(\frac{{{\lambda _0} \cdot Var(L)}}{{{\rm E}{{\left[ L \right]}^2}}} \cdot {\rm E}\left[ N \right]\) \({\rm E}\left[ N \right] = r\beta \) \(Var(N) = r\beta (1 + \beta )\) \({\rm E}\left[ S \right] = {n_1}{p_1} + {n_2}{p_2} + {n_3}{p_3}\) \({\rm E}\left[ {{S^2}} \right] = {n_1}^2{p_1} + {n_2}^2{p_2} + {n_3}^2{p_3}\) \(Var(S) = {\rm E}\left[ {{S^2}} \right] – {\left( {{\rm E}\left[ S \right]} \right)^2}\) \({\rm E}\left[ L \right] = {\rm E}\left[ N \right] \cdot {\rm E}\left[ N \right]\) \(Var(L) = {\rm E}\left[ N \right] \cdot Var(S) + Var(N) \cdot {\left( {{\rm E}\left[ S \right]} \right)^2}\)
Proses pengerjaan	\({\rm E}\left[ N \right] = r\beta = 3r\) \(Var(N) = r\beta (1 + \beta ) = 12r\) \({\rm E}\left[ S \right] = {n_1}{p_1} + {n_2}{p_2} + {n_3}{p_3} = 1(0,4) + 10(0,4) + 100(0,2) = 24,4\) \({\rm E}\left[ {{S^2}} \right] = {n_1}^2{p_1} + {n_2}^2{p_2} + {n_3}^2{p_3} = {1^2}(0,4) + {10^2}(0,4) + {100^2}(0,2) = 2.040,4\) \(Var(S) = {\rm E}\left[ {{S^2}} \right] – {\left( {{\rm E}\left[ S \right]} \right)^2} = 1.445,04\) \({\rm E}\left[ L \right] = {\rm E}\left[ N \right] \cdot {\rm E}\left[ N \right] = 73,2r\) \(Var(L) = {\rm E}\left[ N \right] \cdot Var(S) + Var(N) \cdot {\left( {{\rm E}\left[ S \right]} \right)^2}\) \(Var(L) = 3r(1.445,04) + 12r{(24,4)^2} = 11.479,44r\) \(95\% CI:{Z_{0,95}} = 1,96\) Toleransi \({\lambda _{\rm{0}}} = {\left( {\frac{{1.96}}{{10\% }}} \right)^2} = 384,16\) Jumlah klaim \(= \frac{{{\lambda _0} \cdot Var(L)}}{{{\rm E}{{\left[ L \right]}^2}}} \cdot {\rm E}\left[ N \right] = \frac{{384,16(11.479,44r)}}{{{{(73,2r)}^2}}}(3r) = 2.469,06\)
Jawaban	d. Lebih dari 2000

Pembahasan Ujian PAI: A70 – No. 26 – November 2014