Pembahasan Ujian PAI: A50 - No. 9 - Juni 2016

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Metoda Statistika
Periode Ujian	:	Juni 2016
Nomor Soal	:	9

SOAL

Dalam sebuah model triple-decrement untuk seseorang yang sekarang berumur \(x\), diketahui constant force of decrement sebagai berikut:

\(\mu _{x + t}^{\left( 1 \right)} = b,\) untuk \(t \ge 0\)
\(\mu _{x + t}^{\left( 2 \right)} = b,\) untuk \(t \ge 0\)
\(\mu _{x + t}^{\left( 3 \right)} = 2b,\) untuk \(t \ge 0\)

Probabilitas orang tersebut akan keluar dari kelompok dalam 4 tahun karena decrement (1) adalah 0,0155.

Hitunglah berapa lama seseorang yang sekarang berumur diharapkan tetap berada dalam table triple decrement (yaitu E [T])?

83,33
79,65
72,77
68,15
62,50

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	\(\mu _{x + t}^{\left( 1 \right)} = b,\) untuk \(t \ge 0\) \(\mu _{x + t}^{\left( 2 \right)} = b,\) untuk \(t \ge 0\) \(\mu _{x + t}^{\left( 3 \right)} = 2b,\) untuk \(t \ge 0\) Probabilitas orang tersebut akan keluar dari kelompok dalam 4 tahun karena decrement (1) adalah 0,0155
Rumus yang digunakan	\(\mu _{x + t}^{\left( \tau \right)} = \mu _{x + t}^{\left( 1 \right)} + \mu _{x + t}^{\left( 2 \right)} + \mu _{x + t}^{\left( 3 \right)}\) \({}_tp_x^{\left( \tau \right)} = \exp \left( { – \int\limits_0^t {\mu _x^{\left( \tau \right)}\left( s \right)ds} } \right)\) \({f_{T,J}}\left( {t,j} \right) = {}_tp_x^{\left( \tau \right)}\mu _x^{\left( j \right)}\left( t \right)\) \(_tq_x^{\left( j \right)} = \int\limits_0^t {{f_{T,J}}\left( {s,j} \right)ds} \) \(E\left[ T \right] = \int\limits_0^\infty {{}_tp_x^{\left( \tau \right)}dt} \)
Proses pengerjaan	\(\mu _{x + t}^{\left( \tau \right)} = \mu _{x + t}^{\left( 1 \right)} + \mu _{x + t}^{\left( 2 \right)} + \mu _{x + t}^{\left( 3 \right)}\) \(= b + b + 2b\) \(= 4b\)
	\({}_tp_x^{\left( \tau \right)} = \exp \left( { – \int\limits_0^t {\mu _x^{\left( \tau \right)}\left( s \right)ds} } \right)\) \(= \exp \left( { – \int\limits_0^t {4bds} } \right)\) \(= \exp ( – 4bt)\)
	\(_tq_x^{\left( 1 \right)} = \int\limits_0^4 {{f_{T,J}}\left( {s,j} \right)ds} \) \(= \int\limits_0^4 {{}_sp_x^{\left( \tau \right)}\mu _{x + s}^{\left( 2 \right)}\left( s \right)ds} \) \(0,0155 = \int\limits_0^4 {b \cdot \exp \left( { – 4bs} \right)ds} ,\) misal \(u = – 4bs\) maka \(du = – 4b \cdot ds\) \(= – b \cdot \int\limits_0^{ – 16b} {\frac{{\exp \left( u \right)}}{{4b}}du} \) \(0,0155 = \frac{1}{4} – \frac{{\exp \left( { – 16b} \right)}}{4}\) \(\exp \left( { – 16b} \right) = 0,938\) \(b = \frac{{\ln \left( {0,938} \right)}}{{ – 16}}\) \(= 0,004\)
	\(E\left[ T \right] = \int\limits_0^\infty {{}_tp_x^{\left( \tau \right)}dt} \) \(= \int\limits_0^\infty {\exp \left( { – 4 \cdot 0,004 \cdot t} \right)dt} \) \(= \int\limits_0^\infty {\exp \left( { – \frac{{16}}{{1000}}t} \right)dt} \) \(= – \frac{{125}}{2} \cdot \left. {\exp \left( { – \frac{2}{{125}}t} \right)} \right\|_0^\infty \) \(= 62,5\)
Jawaban	e. 62,50

Pembahasan Ujian PAI: A50 – No. 9 – Juni 2016