Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
April 2019 |
| Nomor Soal |
: |
2 |
SOAL
Banyaknya klaim dalam suatu periode mengikuti distribusi geometrik dengan rata-rata 4. Besarnya klaim \(X\) mengikuti \(\Pr \left( {X = x} \right) = 0,25\), untuk \(x = 1,2,3,4\). Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas. \(S\) ialah total besar klaim secara aggregate pada periode tersebut.
Hitung \({F_S}\left( 3 \right)\)
- 0,27
- 0,29
- 0,31
- 0,33
- 0,35
| Diketahui |
Banyaknya klaim dalam suatu periode mengikuti distribusi geometrik dengan rata-rata 4. Besarnya klaim \(X\) mengikuti \(\Pr \left( {X = x} \right) = 0,25\), untuk \(x = 1,2,3,4\). Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas. \(S\) ialah total besar klaim secara aggregate pada periode tersebut. |
| Rumus yang digunakan |
\({{p_n} = \Pr \left( {N = n} \right) = {f_N}\left( n \right),}\) \({{f_n} = \Pr \left( {X = n} \right) = {f_X}\left( n \right),}\) \({{g_n} = \Pr \left( {S = n} \right) = {f_s}\left( n \right)}\)
\({F_S}\left( x \right) = \Pr \left( {S \le x} \right) = \sum\nolimits_{k \le x} {{g_k}} \)
\({{g_k} = \frac{1}{{1 – a \cdot {f_0}}}\sum\limits_{j = 1}^k {\left( {a + \frac{{bj}}{k}} \right){f_j}{g_{k – j}}} ,}\) \({{p_k} = \left( {a + \frac{b}{k}} \right){p_{k – 1}}}\)
Distribusi Geometrik
\({\beta = \mu ,}\) \({a = \frac{\beta }{{1 + \beta }},}\) \({b = 0,}\) \({{p_0} = \frac{1}{{1 + \beta }}}\) |
| Proses pengerjaan |
\(a = \frac{\beta }{{1 + \beta }} = \frac{4}{{1 + 4}} = 0.8\)
\({p_0} = \frac{1}{{1 + \beta }} = \frac{1}{{1 + 4}} = 0.2\)
\({p_1} = \left( {a + \frac{b}{1}} \right){p_0} = \left( {0.8} \right)\left( {0.2} \right) = 0.16\)
\({p_2} = \left( {a + \frac{b}{2}} \right){p_1} = \left( {0.8} \right)\left( {0.16} \right) = 0.128\)
\({p_3} = \left( {a + \frac{b}{3}} \right){p_2} = \left( {0.8} \right)\left( {0.128} \right) = 0.1024\) |
|
Kita gunakan rumus rekursi untuk mempermudah penyelesaian dengan nilai \({f_0} = 0\) dan \({g_0} = {p_0} = 0.2\)
\({g_k} = \frac{1}{{1 – 0.8 \cdot \left( 0 \right)}}\sum\limits_{j = 1}^k {\left( {0.8 + \frac{{j\left( 0 \right)}}{k}} \right){f_j}{g_{k – j}}} = 0.8\sum\limits_{j = 1}^k {{f_j}{g_{k – j}}} \)
- Untuk kejadian satu klaim ada 3 kemungkinan untuk mendapatkan \(S \le 3\) yaitu \(x = \)1, 2, atau 3
\({g_1} = {f_1}{g_0} + {f_2}{g_0} + {f_3}{g_0} = \left( 3 \right)\left( {0.25} \right)\left( {0.16} \right) = 0.12\)
- Untuk kejadian dua klaim ada 3 kemungkinan untuk mendapatkan \(S \le 3\) yaitu \(x = \)1 dan 1, 1 dan 2, atau 2 dan 1
\({g_2} = {f_1}{f_1}{g_1} + {f_1}{f_2}{g_1} + {f_2}{f_1}{g_1} = \left( 3 \right)\left( {{{0.25}^2}} \right)\left( {0.128} \right) = 0.024\)
- Untuk kejadian tiga klaim ada 1 kemungkinan untuk mendapatkan \(S \le 3\) yaitu \(x = \)1, 1 dan 1
\({g_2} = {f_1}{f_1}{f_1}{g_2} = \left( 1 \right)\left( {{{0.25}^3}} \right)\left( {0.1024} \right) = 0.0016\)
Diperoleh
\({F_S}\left( 3 \right) = {g_0} + {g_1} + {g_2} + {g_3} = 0.2 + 0.12 + 0.024 + 0.0016 = 0.3456\) |
| Jawaban |
e. 0,35 |
