Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | April 2019 |
| Nomor Soal | : | 2 |
SOAL
Banyaknya klaim dalam suatu periode mengikuti distribusi geometrik dengan rata-rata 4. Besarnya klaim \(X\) mengikuti \(\Pr \left( {X = x} \right) = 0,25\), untuk \(x = 1,2,3,4\). Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas. \(S\) ialah total besar klaim secara aggregate pada periode tersebut.
Hitung \({F_S}\left( 3 \right)\)
- 0,27
- 0,29
- 0,31
- 0,33
- 0,35
| Diketahui | Banyaknya klaim dalam suatu periode mengikuti distribusi geometrik dengan rata-rata 4. Besarnya klaim \(X\) mengikuti \(\Pr \left( {X = x} \right) = 0,25\), untuk \(x = 1,2,3,4\). Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas. \(S\) ialah total besar klaim secara aggregate pada periode tersebut. |
| Rumus yang digunakan | \({{p_n} = \Pr \left( {N = n} \right) = {f_N}\left( n \right),}\) \({{f_n} = \Pr \left( {X = n} \right) = {f_X}\left( n \right),}\) \({{g_n} = \Pr \left( {S = n} \right) = {f_s}\left( n \right)}\)
\({F_S}\left( x \right) = \Pr \left( {S \le x} \right) = \sum\nolimits_{k \le x} {{g_k}} \)
\({{g_k} = \frac{1}{{1 – a \cdot {f_0}}}\sum\limits_{j = 1}^k {\left( {a + \frac{{bj}}{k}} \right){f_j}{g_{k – j}}} ,}\) \({{p_k} = \left( {a + \frac{b}{k}} \right){p_{k – 1}}}\) Distribusi Geometrik |
| Proses pengerjaan | \(a = \frac{\beta }{{1 + \beta }} = \frac{4}{{1 + 4}} = 0.8\) \({p_0} = \frac{1}{{1 + \beta }} = \frac{1}{{1 + 4}} = 0.2\) \({p_1} = \left( {a + \frac{b}{1}} \right){p_0} = \left( {0.8} \right)\left( {0.2} \right) = 0.16\) \({p_2} = \left( {a + \frac{b}{2}} \right){p_1} = \left( {0.8} \right)\left( {0.16} \right) = 0.128\) \({p_3} = \left( {a + \frac{b}{3}} \right){p_2} = \left( {0.8} \right)\left( {0.128} \right) = 0.1024\) |
Kita gunakan rumus rekursi untuk mempermudah penyelesaian dengan nilai \({f_0} = 0\) dan \({g_0} = {p_0} = 0.2\)
\({g_k} = \frac{1}{{1 – 0.8 \cdot \left( 0 \right)}}\sum\limits_{j = 1}^k {\left( {0.8 + \frac{{j\left( 0 \right)}}{k}} \right){f_j}{g_{k – j}}} = 0.8\sum\limits_{j = 1}^k {{f_j}{g_{k – j}}} \)
Diperoleh | |
| Jawaban | e. 0,35 |