Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
16 |
SOAL
Sebuah studi dilakukan terhadap pasien penyakit kritis dimulai saat sampai semuanya meninggal saat t = 5. Diberikan data sebagai
-
| Waktu (t) |
Banyaknya kematian yang terjadi saat t |
| 1 |
6 |
| 2 |
9 |
| 3 |
5 |
| 4 |
\({d_4}\) |
| 5 |
\({d_5}\) |
- \(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 1 \right)} \right) = \widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 3 \right)} \right)\) berdasarkan data aktual.
- Rata-rata sisa masa hidup untuk pasien yang bertahan hidup sampai t = 3 adalah \(\frac{7}{6}\)
Hitunglah banyaknya pasien yang meninggal pada saat t = 4.
- 1
- 3
- 5
- 10
- 15
| Diketahui |
Sebuah studi dilakukan terhadap pasien penyakit kritis dimulai saat sampai semuanya meninggal saat t = 5. Diberikan data sebagai
-
| Waktu (t) |
Banyaknya kematian yang terjadi saat t |
| 1 |
6 |
| 2 |
9 |
| 3 |
5 |
| 4 |
\({d_4}\) |
| 5 |
\({d_5}\) |
- \(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 1 \right)} \right) = \widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 3 \right)} \right)\) berdasarkan data aktual.
- Rata-rata sisa masa hidup untuk pasien yang bertahan hidup sampai t = 3 adalah \(\frac{7}{6}\)
|
| Rumus yang digunakan |
\(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( x \right)} \right) = \frac{{{S_n}\left( x \right)\left( {1 – {S_n}\left( x \right)} \right)}}{n}\) |
| Proses pengerjaan |
| Waktu t |
\({r_t}\) |
\({S_t}\) |
\({r_t} – {S_t}\) |
\({S_n}\left( t \right)\) |
| 1 |
\(20 + {d_4} + {d_5}\) |
6 |
\(14 + {d_4} + {d_5}\) |
\(\frac{{14 + {d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}\) |
| 2 |
\(14 + {d_4} + {d_5}\) |
9 |
\(5 + {d_4} + {d_5}\) |
\(\frac{{5 + {d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}\) |
| 3 |
\(5 + {d_4} + {d_5}\) |
5 |
\({d_4} + {d_5}\) |
\(\frac{{{d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}\) |
| 4 |
\({d_4} + {d_5}\) |
\({d_4}\) |
\({d_5}\) |
\(\frac{{{d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}\) |
| 5 |
\({d_5}\) |
\({d_5}\) |
0 |
0 |
\(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 1 \right)} \right) = \widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 3 \right)} \right)\)
\({S_n}\left( 1 \right)\left( {1 – {S_n}\left( 1 \right)} \right) = {S_n}\left( 3 \right)\left( {1 – {S_n}\left( 3 \right)} \right)\)
\(\frac{{14 + {d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}\left( {1 – \frac{{14 + {d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}} \right) = \frac{{{d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}\left( {1 – \frac{{{d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}} \right)\)
\(6\left( {14 + {d_4} + {d_5}} \right) = 20\left( {{d_4} + {d_5}} \right)\)
\(84 = 14{d_4} + 14{d_5}\) |
|
Pada akhir tahun ketiga terdapat \({d_4} + {d_5}\) pasien yang masih hidup dengan peluang bahwa pasien tersebut akan hidup hingga tahun keempat adalah \(\frac{{{d_5}}}{{{d_4} + {d_5}}}\). Diantara jumlah tersebut, sebanyak \({d_4}\) pasien akan meninggal di tahun keempat, dan \({d_5}\) pasien akan meninggal di tahun kelima. Oleh karena itu, rata-rata sisa masa hidup untuk pasien yang bertahan hidup pada \(t = 3\) adalah
\(\frac{{{d_4} + 2{d_5}}}{{{d_4} + {d_5}}} = \frac{7}{6} \to {d_4} = 5{d_5}\) maka diperoleh \(84 = 14\left( {5{d_5}} \right) + 14{d_5} \to {d_5} = 1\) |
|
Jadi pasien yang meninggal saat \(t = 3\) adalah \({d_4} = 5{d_5} = 5\left( 1 \right) = 5\) |
| Jawaban |
C. 5 |
