Pembahasan Ujian PAI: A70 – No. 16 – November 2016

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Permodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	November 2016
Nomor Soal	:	16

SOAL

Sebuah studi dilakukan terhadap pasien penyakit kritis dimulai saat sampai semuanya meninggal saat t = 5. Diberikan data sebagai

1. Waktu (t)	Banyaknya kematian yang terjadi saat t
   1	6
   2	9
   3	5
   4	\({d_4}\)
   5	\({d_5}\)

2. \(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 1 \right)} \right) = \widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 3 \right)} \right)\) berdasarkan data aktual.
3. Rata-rata sisa masa hidup untuk pasien yang bertahan hidup sampai t = 3 adalah \(\frac{7}{6}\)

Hitunglah banyaknya pasien yang meninggal pada saat t = 4.

1. 1
2. 3
3. 5
4. 10
5. 15

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui	Sebuah studi dilakukan terhadap pasien penyakit kritis dimulai saat sampai semuanya meninggal saat t = 5. Diberikan data sebagai Waktu (t) Banyaknya kematian yang terjadi saat t 1 6 2 9 3 5 4 \({d_4}\) 5 \({d_5}\) \(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 1 \right)} \right) = \widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 3 \right)} \right)\) berdasarkan data aktual. Rata-rata sisa masa hidup untuk pasien yang bertahan hidup sampai t = 3 adalah \(\frac{7}{6}\)
Rumus yang digunakan	\(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( x \right)} \right) = \frac{{{S_n}\left( x \right)\left( {1 – {S_n}\left( x \right)} \right)}}{n}\)
Proses pengerjaan	Waktu t \({r_t}\) \({S_t}\) \({r_t} – {S_t}\) \({S_n}\left( t \right)\) 1 \(20 + {d_4} + {d_5}\) 6 \(14 + {d_4} + {d_5}\) \(\frac{{14 + {d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}\) 2 \(14 + {d_4} + {d_5}\) 9 \(5 + {d_4} + {d_5}\) \(\frac{{5 + {d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}\) 3 \(5 + {d_4} + {d_5}\) 5 \({d_4} + {d_5}\) \(\frac{{{d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}\) 4 \({d_4} + {d_5}\) \({d_4}\) \({d_5}\) \(\frac{{{d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}\) 5 \({d_5}\) \({d_5}\) 0 0 \(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 1 \right)} \right) = \widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 3 \right)} \right)\) \({S_n}\left( 1 \right)\left( {1 – {S_n}\left( 1 \right)} \right) = {S_n}\left( 3 \right)\left( {1 – {S_n}\left( 3 \right)} \right)\) \(\frac{{14 + {d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}\left( {1 – \frac{{14 + {d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}} \right) = \frac{{{d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}\left( {1 – \frac{{{d_4} + {d_5}}}{{20 + {d_4} + {d_5}}}} \right)\) \(6\left( {14 + {d_4} + {d_5}} \right) = 20\left( {{d_4} + {d_5}} \right)\) \(84 = 14{d_4} + 14{d_5}\)
	Pada akhir tahun ketiga terdapat \({d_4} + {d_5}\) pasien yang masih hidup dengan peluang bahwa pasien tersebut akan hidup hingga tahun keempat adalah \(\frac{{{d_5}}}{{{d_4} + {d_5}}}\). Diantara jumlah tersebut, sebanyak \({d_4}\) pasien akan meninggal di tahun keempat, dan \({d_5}\) pasien akan meninggal di tahun kelima. Oleh karena itu, rata-rata sisa masa hidup untuk pasien yang bertahan hidup pada \(t = 3\) adalah \(\frac{{{d_4} + 2{d_5}}}{{{d_4} + {d_5}}} = \frac{7}{6} \to {d_4} = 5{d_5}\) maka diperoleh \(84 = 14\left( {5{d_5}} \right) + 14{d_5} \to {d_5} = 1\)
	Jadi pasien yang meninggal saat \(t = 3\) adalah \({d_4} = 5{d_5} = 5\left( 1 \right) = 5\)
Jawaban	C. 5

[/showhide]