Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
April 2019 |
| Nomor Soal |
: |
14 |
SOAL
Sebuah perusahaan merekrut 200 karyawan untuk bergabung dalam sebuah program management trainee. Untuk memprediksi jumlah karyawan yang akan menyelesaikan program tersebut, perusahaan membuat multiple decrement table dengan asumsi sebagai berikut:
- Dari 40 karyawan, jumlah yang gagal membuat kemajuan yang memadai dalam tiga tahun pertama adalah 10, 6, dan 8, secara berurutan
- Dari 30 karyawan, jumlah yang mengundurkan diri dalam tiga tahun pertama adalah 6, 8, dan 2, secara berurutan
- Dari 20 karyawan, jumlah yang meninggalkan program dengan alasan lain dalam tiga tahun pertama adalah 2, 2, dan 4, secara berurutan
- Distribusi seragam (uniform) digunakan sebagai asumsi decrement setiap tahunnya
Hitunglah estimasi jumlah karyawan yang gagal membuat kemajuan yang memadai di tahun ke-3
- 4
- 8
- 12
- 14
- 17
| Diketahui |
Sebuah perusahaan merekrut 200 karyawan untuk bergabung dalam sebuah program management trainee. Untuk memprediksi jumlah karyawan yang akan menyelesaikan program tersebut, perusahaan membuat multiple decrement table dengan asumsi sebagai berikut:
- Dari 40 karyawan, jumlah yang gagal membuat kemajuan yang memadai dalam tiga tahun pertama adalah 10, 6, dan 8, secara berurutan
- Dari 30 karyawan, jumlah yang mengundurkan diri dalam tiga tahun pertama adalah 6, 8, dan 2, secara berurutan
- Dari 20 karyawan, jumlah yang meninggalkan program dengan alasan lain dalam tiga tahun pertama adalah 2, 2, dan 4, secara berurutan
- Distribusi seragam (uniform) digunakan sebagai asumsi decrement setiap tahunnya
|
| Rumus yang digunakan |
\({q_x} = \frac{{{d_x}}}{{{l_x}}}\), \(p_x^{\left( \tau \right)} = \prod\limits_{j = 1}^n {p_x^{‘\left( j \right)}} \), \(l_n^{\left( \tau \right)} = l_0^{\left( \tau \right)} \cdot \prod\limits_{k = 0}^{n – 1} {p_k^{\left( \tau \right)}} \), \(d_x^{\left( j \right)} = q_x^{\left( j \right)} \cdot l_x^{\left( \tau \right)}\),
\(q_x^{‘\left( j \right)} = \frac{{\ln \left( {p_x^{‘\left( j \right)}} \right)}}{{\ln \left( {p_x^{\left( \tau \right)}} \right)}} \cdot q_x^{\left( \tau \right)}\) |
| Proses pengerjaan |
Peluang kegagalan karyawan sesuai penyebab pada tiap tahunnya
- \(q_0^{‘\left( 1 \right)} = \frac{{10}}{{40}} = \frac{1}{4},\) \(q_1^{‘\left( 1 \right)} = \frac{6}{{30}} = \frac{1}{5},\) \(q_2^{‘\left( 1 \right)} = \frac{8}{{24}} = \frac{1}{3},\)
- \(q_0^{‘\left( 2 \right)} = \frac{6}{{30}} = \frac{1}{5},\) \(q_1^{‘\left( 2 \right)} = \frac{8}{{24}} = \frac{1}{3},\) \(q_2^{‘\left( 2 \right)} = \frac{2}{{16}} = \frac{1}{8},\)
- \(q_0^{‘\left( 3 \right)} = \frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}},\) \(q_1^{‘\left( 3 \right)} = \frac{2}{{18}} = \frac{1}{9},\) \(q_2^{‘\left( 3 \right)} = \frac{4}{{16}} = \frac{1}{4},\)
|
|
Sehingga diperoleh peluang seluruh karyawan lolos pada tiap tahunnya
\(p_0^{\left( \tau \right)} = p_0^{‘\left( 1 \right)} \cdot p_0^{‘\left( 2 \right)} \cdot p_0^{‘\left( 3 \right)} = \left( {1 – \frac{1}{4}} \right) \cdot \left( {1 – \frac{1}{5}} \right) \cdot \left( {1 – \frac{1}{{10}}} \right) = 0,54\)
\(p_1^{\left( \tau \right)} = p_1^{‘\left( 1 \right)} \cdot p_1^{‘\left( 2 \right)} \cdot p_1^{‘\left( 3 \right)} = \left( {1 – \frac{1}{5}} \right) \cdot \left( {1 – \frac{1}{3}} \right) \cdot \left( {1 – \frac{1}{9}} \right) = 0,47407\)
\(p_2^{\left( \tau \right)} = p_2^{‘\left( 1 \right)} \cdot p_2^{‘\left( 2 \right)} \cdot p_2^{‘\left( 3 \right)} = \left( {1 – \frac{1}{3}} \right) \cdot \left( {1 – \frac{1}{8}} \right) \cdot \left( {1 – \frac{1}{4}} \right) = 0,4375\) |
|
Diperoleh \(l_2^{\left( \tau \right)} = l_0^{\left( \tau \right)} \cdot p_0^{\left( \tau \right)} \cdot p_1^{\left( \tau \right)} = 200 \cdot 0,54 \cdot 0,47407 = 51,19956\)
\(q_2^{\left( 1 \right)} = \frac{{\ln p_2^{‘\left( 1 \right)}}}{{\ln p_2^{\left( \tau \right)}}} \cdot q_2^{\left( \tau \right)} = \frac{{\ln \left( {1 – \frac{1}{3}} \right)}}{{\ln \left( {0,4375} \right)}} \cdot \left( {1 – 0,4375} \right) = 0,275892\)
\(d_2^{\left( 1 \right)} = q_2^{\left( 1 \right)} \cdot l_2^{\left( \tau \right)} = \left( {0,275892} \right) \cdot \left( {51,19956} \right) = 14,125556\) |
| Jawaban |
d. 14 |
