Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
28 |
SOAL
Untuk “cohort” dari 1000 jiwa usia 50, peluang hidup adalah
\({}_t{p_{50}} = \frac{{20 – \sqrt t }}{{20}}\) , \(t \le 400\)
Dengan pendekatan “normal”, hitunglah 95 percentile dari “number of lives” untuk cohort ini yang akan hidup 30 tahun
- 744
- 749
- 755
- 764
- 771
| Diketahui |
Untuk “cohort” dari 1000 jiwa usia 50, peluang hidup adalah
\({}_t{p_{50}} = \frac{{20 – \sqrt t }}{{20}}\) , \(t \le 400\)
|
| Rumus yang digunakan |
Binomial: \(E\left[ X \right] = np\) dan \(Var\left( X \right) = npq\)
\(P\left( {\frac{{N – E\left[ N \right]}}{{\sqrt {Var\left( N \right)} }} < {z_p}} \right)\) |
| Proses pengerjaan |
Misalkan N jumlah orang yang hidup,
\(E\left[ N \right] = 1000 \cdot {}_{30}{p_{50}} = 1000\left( {\frac{{20 – \sqrt {30} }}{{20}}} \right) = 726.1387212\)
Karena N adalah variabel acak binomial dengan parameter 1000 dan \({}_{30}{p_{50}}\) maka
\(Var\left( N \right) = 1000 \cdot {}_{30}{p_{50}} \cdot {}_{30}{q_{50}} = 1000\left( {\frac{{20 – \sqrt {30} }}{{20}}} \right)\left( {\frac{{\sqrt {30} }}{{20}}} \right) = 198.8613\)
Dengan pendekatan distribusi normal; 95 \(\left( {{z_{0.05}} = 1.645} \right)\) percentile “number of life” untuk “cohort” yang akan hidup 30 tahun memenuhi persamaan berikut
\(P\left( {\frac{{N – E\left[ N \right]}}{{\sqrt {Var\left( N \right)} }} < {z_p}} \right) = 0.95\)
Diperoleh
\(\frac{{N – 726.1387212}}{{\sqrt {198.8613} }} = 1.645\)
\(N = 726.1387212 + 1.645\sqrt {198.8613} \)
\(N = 749.3362\) |
| Jawaban |
B. 749 |
