Pembahasan Ujian PAI: A60 - No. 27 - Juni 2016

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Matematika Aktuaria
Periode Ujian	:	Juni 2016
Nomor Soal	:	27

SOAL

Pada 1 Januari, sebuah perusahaan asuransi menerbitkan 10 polis “one-year term life insurance” pada usia x dengan independent future lifetime. Anda diberikan:

Setiap polis membayarkan manfaat sebesar 1.000 pada akhir tahun jika pemegang polis meninggal dalam tahun tersebut
Setiap pemegang polis membayar premi tunggal sebesar 90
adalah sama untuk setiap pemegang polis. Dengan probabilitas 0,3; \({q_x} = 0,0\) untuk setiap pemegang polis. Dengan probabilitas 0,7; \({q_x} = 0,2\) untuk setiap pemegang polis
\(i = 0,04\)

Hitunglah variansi dari present value of future losses yang diterbitkan pada variabel acak untuk seluruh portfolio (pembulatan terdekat). Hint: Var [Loss] = E[Var(Loss)] + Var(E[Loss])

800.000
900.000
1.000.000
1.400.000
1.800.000

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	Pada 1 Januari, sebuah perusahaan asuransi menerbitkan 10 polis “one-year term life insurance” pada usia x dengan independent future lifetime. Anda diberikan: Setiap polis membayarkan manfaat sebesar 1.000 pada akhir tahun jika pemegang polis meninggal dalam tahun tersebut Setiap pemegang polis membayar premi tunggal sebesar 90 adalah sama untuk setiap pemegang polis. Dengan probabilitas 0,3; \({q_x} = 0,0\) untuk setiap pemegang polis. Dengan probabilitas 0,7; \({q_x} = 0,2\) untuk setiap pemegang polis \(i = 0,04\)
Rumus yang digunakan	\(Var\left[ {Loss} \right] = E\left[ {Var\left( {Loss} \right)} \right] + Var\left( {E\left[ {Loss} \right]} \right)\) \(Var\left( N \right) = E\left[ {Var\left( {\left. N \right\|Q} \right)} \right] + Var\left( {E\left[ {\left. N \right\|Q} \right]} \right)\) Binomial: \(E\left[ N \right] = np\) dan \(Var\left[ N \right] = npq\)
Proses pengerjaan	Misalkan N menyatakan jumlah kematian, maka \(S = 1000vN – 90\left( {10} \right)\) dengan N berdistribusi binomial \(\left( {10,Q} \right)\) dan \(Q = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{{\rm{dengan\_peluang }}0,3}\\{0,2}&{{\rm{dengan\_peluang }}0,7}\end{array}} \right.\) \(Var\left( N \right) = E\left[ {Var\left( {\left. N \right\|Q} \right)} \right] +Var\left( {E\left[ {\left. N \right\|Q} \right]} \right)\) \(Var\left( N \right) = E\left[ {10Q\left( {1 – Q} \right)} \right] + Var\left( {10Q} \right)\) \(Var\left( N \right) = 10E\left[ Q \right] – 10E\left[ {{Q^2}} \right] + {10^2}Var\left( Q \right)\) \(Var\left( N \right) = 10E\left[ Q \right] – 10E\left[ {{Q^2}} \right] + 100\left( {E\left[ {{Q^2}} \right] – E{{\left[ Q \right]}^2}} \right)\) \(Var\left( N \right) = 90E\left[ {{Q^2}} \right] + 10E\left[ Q \right] – 100E{\left[ Q \right]^2}\) \(Var\left( N \right) = 90\left[ {{0^2}\left( {0.3} \right) + \left( {{{0.2}^2}} \right)\left( {0.7} \right)} \right] + \) \(10\left[ {0\left( {0.3} \right) + 0.2\left( {0.7} \right)} \right] – 100{\left[ {0\left( {0.3} \right) + 0.2\left( {0.7} \right)} \right]^2}\) \(Var\left( N \right) = 1.96\) \(Var\left( S \right) = Var\left( {1000vN – 900} \right)\) \(Var\left( S \right) = {\left( {1000v} \right)^2}Var\left( N \right)\) \(Var\left( S \right) = {\left( {\frac{{1000}}{{1.04}}} \right)^2}\left( {1.96} \right) = 1,812,130.178\)
Jawaban	E. 1.800.000

Pembahasan Ujian PAI: A60 – No. 27 – Juni 2016