Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Sebuah variabel acak dari distribusi age-at-failure, didefinisikan sebagai berikut:
\({F_X}\left( x \right) = 1 – 0,10{\left( {100 – x} \right)^{\frac{1}{2}}}\) untuk \(0 \le x \le 100\)Carilah nilai \(E\left( X \right)\) yang paling mendekati, bila diketahui fungsi \(E\left( X \right) = \int\limits_0^\infty {{S_X}\left( x \right)dx} \)
- 33,33
- 1,67
- 66,67
- 203,07
- 167,67
| Diketahui | \({F_X}\left( x \right) = 1 – 0,10{\left( {100 – x} \right)^{\frac{1}{2}}}\) untuk \(0 \le x \le 100\) |
| Rumus yang digunakan | \(E\left( X \right) = \int\limits_0^\infty {{S_X}\left( x \right)dx} \) dengan \({S_X}\left( x \right) = 1 – {F_X}\left( x \right)\) |
| Proses pengerjaan | \({S_X}\left( x \right) = 1 – {F_X}\left( x \right) = 1 – \left[ {1 – 0.10{{\left( {100 – x} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right]\)
\({S_X}\left( x \right) = 0.10{\left( {100 – x} \right)^{\frac{1}{2}}}\)
sehingga \({E\left( X \right) = \int\limits_0^{100} {0.10{{\left( {100 – x} \right)}^{\frac{1}{2}}}dx} }\) \({{\rm{misal }}{u^2} = 100 – x \Rightarrow 2udu = – dx}\) \(E\left( X \right) = 0.1\left[ {\int\limits_{\sqrt {100} }^0 { – 2{u^2}du} } \right]\) \(E\left( X \right) = – 0.2\left[ {\frac{{{u^3}}}{3}} \right]_{\sqrt {100} }^0\) \(E\left( X \right) = 66.66667\) |
| Jawaban | c. 66,67 |