Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
November 2014 |
| Nomor Soal |
: |
5 |
SOAL
Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai \(S\left( x \right) = a{x^2} + b\) dengan domain \(0 \le t \le k\) Jika expected value dari X adalah 60, maka tentukan median dari X :
- \(25\sqrt 2 \)
- \(45\sqrt 2 \)
- \(49\sqrt 2 \)
- \(75\sqrt 2 \)
- Tidak ada jawaban yang benar
| Diketahui |
- Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai \(S\left( x \right) = a{x^2} + b\) dengan domain \(0 \le t \le k\)
- Expected value dari X adalah 60
|
| Rumus yang digunakan |
- median: \(S\left( m \right) = F\left( m \right) = 0.5\)
- \(E\left[ T \right] = \int\limits_0^\infty {S\left( t \right)dt} \)
- Syarat Survival Distribution: \(S\left( 0 \right) = 1\) dan \(S\left( \infty \right) = 0\)
|
| Proses pengerjaan |
- \(S\left( 0 \right) = a{\left( 0 \right)^2} + b = 1\) sehingga \(b = 1\)
- Misal \(S\left( k \right) = a{k^2} + 1 = 0\) maka \(a = – \frac{1}{{{k^2}}}\)
Sehingga \(S\left( x \right) = a{x^2} + b = – \frac{{{x^2}}}{{{k^2}}} + 1\)
- Mencari nilai \(k\)
\(E\left[ X \right] = \int\limits_0^\infty {S\left( y \right)dy} \)
\(60 = \int\limits_0^k {\left( {1 – \frac{{{y^2}}}{{{k^2}}}} \right)dy} \)
\(60 = k – \frac{{{k^3}}}{{3{k^2}}}\)
\(180 = 3k – k\)
\(k = \frac{{180}}{2} = 90\)
- Diperoleh \(a = – \frac{1}{{{k^2}}} = – \frac{1}{{{{90}^2}}} = – \frac{1}{{8,100}}\)
- Dari perhitungan di atas diperoleh nilai median
\(S\left( m \right) = a{m^2} + b = 1 – \frac{{{m^2}}}{{8,100}} = 0.5\)
\(\frac{{{m^2}}}{{8,100}} = 0.5\)
\(m = \sqrt {4,050} = 45\sqrt 2 \)
|
| Jawaban |
B. \(45\sqrt 2 \) |
