Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2016 |
| Nomor Soal |
: |
30 |
SOAL
Manakah diantara fungsi di bawah ini yang bukan merupakan probability density function (PDF):
- \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}{\rm{,}}\) untuk \(x \ge 0\)
- \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}{\rm{,}}\) untuk \(x \ge 0\)
- \(f\left( x \right) = \left( {2x – 1} \right){e^{ – x}}{\rm{,}}\) untuk \(x \ge 0\)
- i saja
- ii saja
- iii saja
- i dan iii
- ii dan iii
| Diketahui |
- \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}{\rm{,}}\) untuk \(x \ge 0\)
- \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}{\rm{,}}\) untuk \(x \ge 0\)
- \(f\left( x \right) = \left( {2x – 1} \right){e^{ – x}}{\rm{,}}\) untuk \(x \ge 0\)
|
| Rumus yang digunakan |
PDF harus memiliki syarat
- \(f\left( x \right) \ge 0,{\rm{ }}\) untuk setiap \({\rm{ }}x \in R\)
- \(\int_{ – \infty }^\infty {f\left( x \right)dx} = 1\)
|
| Proses pengerjaan |
i. \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}{\rm{,}}\) untuk \({\rm{ }}x \ge 0\) jelas \(f\left( x \right) \ge 0,{\rm{ }}\) untuk setiap \({\rm{ }}x \in R\)
\(\int\limits_0^\infty {\frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}dx} = \int\limits_1^\infty {\frac{1}{{{u^3}}}du} \)
\(= \left. { – \frac{1}{{2{u^2}}}} \right|_1^\infty \)
\(= \frac{1}{2}\) (Salah) |
|
ii. \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}{\rm{,}}\) untuk \({\rm{ }}x \ge 0 \otimes \) jelas \(f\left( x \right) \ge 0,\) untuk setiap \({\rm{ }}x \in R\)
\(\int\limits_0^\infty {\frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_1^\infty {\frac{1}{{{u^2}}}du} \)
\(= \left. { – \frac{1}{u}} \right|_1^\infty \)
\(= \frac{1}{1}\) (Benar) |
|
iii. \(f\left( x \right) = \left( {2x – 1} \right){e^{ – x}}{\rm{,}}\) untuk \(x \ge 0\) jelas \(f\left( x \right) \ge 0,\) untuk setiap \({\rm{ }}x \in R\)
\(\int\limits_0^\infty {\left( {2x – 1} \right){e^{ – x}}dx} = \int\limits_0^{ – \infty } {{e^u}\left( {2u + 1} \right)du} {\rm{ }}\) misal \(u = – x\) maka \(du = – dx\)
\(= \int\limits_1^0 {\left( {2\ln \left( v \right) + 1} \right)dv} \) misal \(v = {e^u}\) maka \(dv = {e^u}du\)
\(= 2\int\limits_1^0 {\ln \left( v \right)dv} + \int\limits_1^0 {1dv} \)
nilai \(\int\limits_1^0 {\ln \left( v \right)dv} \) tidak bisa ditentukan (Salah) |
| Jawaban |
d. i dan iii |
