Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Sebuah studi selama periode satu tahun dilakukan untuk menginvestigasi kondisi kesehatan dari dua grup yang saling bebas yang mana dalam tiap grup terdapat 10 pemegang polis. Peluang bahwa partisipan individual dalam suatu grup mengundurkan diri sebelum berakhirnya studi ialah sebesar 0,2 (saling bebas terhadap peserta lainnya). Berapa peluang bahwa terdapat sedikitnya 9 partisipan yang berhasil menyelesaikan studi ini di salah satu grup, tetapi tidak di kedua grup?
- 0,096
- 0,192
- 0,235
- 0,376
- 0,469
PEMBAHASAN
| MIsalkan | X1 ialah anggota grup 1 X2 ialah anggota grup 2 |
| Step 1 | \(P({X_1} \ge 9,{X_2} < 9) = P({X_1} \ge 9)P({X_2} < 9)\) \(P({X_2} \ge 9,{X_1} < 9) = P({X_2} \ge 9)P({X_1} < 9)\) |
| Step 2 | \({X_1} = {X_2} = X\) \(p = 0,2\) \(X \sim Bernoulli(q = 0,2)\) \(P({X_1} \ge 9,{X_2} < 9) + P({X_2} \ge 9,{X_1} < 9) = 2P(X \ge 9)P(X < 9)\) |
| Step 3 | \(P(X \ge 9) = P(X = 9) + P(X = 10)\) \(P(X \ge 9) =\) \(\left( \begin{array}{l} 10\\ 9 \end{array} \right){(1 – 0,2)^9}{(0,2)^1} + \left( \begin{array}{l} 10\\ 10 \end{array} \right){(1 – 0,2)^{10}}{(0,2)^0}\) \(P(X \ge 9) = (10){(0,8)^9}(0,2) + {(0,8)^{10}}\) \(P(X \ge 9) = 0,3758096\) \(P(X \ge 9) = 0,3758\) |
| Step 4 | \(P(X < 9) = 1 – P(X \ge 9)\) \(P(X < 9) = 1 – 0,3758\) \(P(X < 9) = 0,6242\) |
| Step 5 | \(2P(X \ge 9)P(X < 9) = 2(0,3758)(0,6242)\) \(2P(X \ge 9)P(X < 9) = 0,4691\) \(2P(X \ge 9)P(X < 9) \cong 0,469\) |
| Jawaban | e. 0,469 |