Pembahasan Ujian PAI: A20 - No. 29 - November 2018

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	A20 – Probabilitas dan Statistika
Periode Ujian	:	November 2018
Nomor Soal	:	29

SOAL

Misal merupakan biaya klaim bedah dan merupakan biaya klaim rawat inap. Seorang aktuaris menggunakan model dimana

\(E(X) = 5;{\rm{ }}E({X^2}) = 27,4;{\rm{ }}E(Y) = 7;{\rm{ }}E({Y^2}) = 51.4;{\rm{ }}Var(X + Y) = 8\)

Jika \({C_1} = X + Y\) merupakan kombinasi dari biaya klaim bedag dan biaya rawat inap dan merupakan kombinasi dari biaya klaim bedah dan biaya rawat inap yang sudah dikenakan penambahan biaya 20%. 20% penambahan biaya hanya berlaku untuk rawat inap. Hitunglah

8,8
9,6
9,76
11,52
12,32

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	\(E(X) = 5;{\rm{ }}E({X^2}) = 27,4;{\rm{ }}E(Y) = 7;{\rm{ }}E({Y^2}) = 51,4;{\rm{ }}\) \(Var(X + Y) = 8\) \({C_1} = X + Y;{\rm{ }}{{\rm{C}}_2} = X + 1.2Y\)
Rumus	\(\bullet Var(X) = E({X^2}) – {(E(X))^2}\) \(\bullet Var(Y) = E({Y^2}) – {(E(Y))^2}\) \(\bullet Cov(X,Y) = E(X.Y) – E(X).E(Y)\) \(\bullet E(XY) = Cov(X,Y) + E(X).E(Y)\) \(\bullet Var(aX + bY) = {a^2}Var(X) + {b^2}Var(Y) + 2ab.{\rm{ }}Cov(X,Y)\)
Pembahasan	\(Var(X) = E({X^2}) – {(E(X))^2} = 27,4 – {5^2} = 2.4\) \(Var(X) = E({Y^2}) – {(E(Y))^2} = 51.4 – {7^2} = 2.4\)\(Cov({C_1},{C_2}) = E({C_1}.{C_2}) – E({C_1})E({C_2})\) \(= E((X + Y)(X + 1.2Y)) – E(X + Y)E(X + 1.2Y)\) \(= E({X^2} + 2.2XY + 1.2{Y^2}) – (E(X) + E(Y))(E(X) + 1.2E(Y))\) \(= (E({X^2}) + 2.2E(XY) + 1.2E({Y^2})) – (E(X) + E(Y))((E(X) + 1.2E(Y)){\rm{ ()}}\) Selanjutnya \(Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)\) \(Cov(X,Y) = \frac{1}{2}(Var(X + Y) – Var(X) – Var(Y)) = \frac{1}{2}(8 – 2.4 – 2.4) = 1.6\) \(E(XY) = Cov(X,Y) + E(X).E(Y) = 1.6 + 35 = 36.6\) Subsitusi semua nilai ke dalam () maka \(Cov({C_1},{C_2}) = (27.4 + 2.2(36.6) + 1.2(51.4)) – (5 + 7)(5 + 1.2(7)) = 8.8\)
Jawaban	a. 8.8

Pembahasan Ujian PAI: A20 – No. 29 – November 2018