Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
A20 – Probabilitas dan Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2018 |
| Nomor Soal |
: |
2018 |
SOAL
Sebuah sampel acak dengan 21 data digunakan untuk mengestimasi variansi dari populasi yang berdistribusi normal. Nilai dari . Berapakah nilai sedemikian sehingga kita dapat 90% percaya bahwa .
- \(A = 2.1{\rm{ dan }}B = 21.6\)
- \(A = 3.8{\rm{ dan }}B = 26.7\)
- \(A = 0.26{\rm{ dan }}B = 1.11\)
- \(A = 70.65{\rm{ dan }}B = 73.95\)
- \(A = 70.65{\rm{ dan }}B = 73.95\)
PEMBAHASAN
| Diketahui |
Sampel acak \(n = 21,\), Populasi X berdistribusi normal
Variasi sampel \({S^2} = 16\)
Tarif keyakinan 90% |
| Rumus |
JIka X merupakan variabel random populasi normal,
Maka random variabel \(\frac{{(n – 1){S^2}}}{{\sigma _X^2}}\) adalah chi-square dengan drajat kebebasan \((n – 1)\).
\(\frac{{(n – 1){S^2}}}{{\sigma _X^2}} \sim {\chi ^2}(n – 1) = \Gamma \left( {\frac{{n – 1}}{2},2} \right)\)
Interval kepercayaan dari arisansi populasi normal
\([\frac{{(n – 1){S^2}}}{{\chi _{\alpha /2}^2(n – 1)}} < {\chi ^2}(20) < \frac{{(n – 1){S^2}}}{{\chi _{1 – \alpha /2}^2(n – 1)}}]\) |
| Pembahasan |
Dipunyai \(\frac{{(n – 1){S^2}}}{{\sigma _X^2}} = \frac{{20{S^2}}}{{\sigma _X^2}} \sim {\chi ^2}(20).\)
\(90\% = \Pr [A < \sigma _X^2 < B]\)
\(= \Pr [\frac{1}{B} < \frac{1}{{\sigma _X^2}} < \frac{1}{A}]\)
\(= [\frac{{20{S^2}}}{B} < \frac{{20{S^2}}}{{\sigma _X^2}} < \frac{{20{S^2}}}{A}]\)
\(= [\frac{{20{S^2}}}{B} < {\chi ^2}(20) < \frac{{20{S^2}}}{A}]\)Untuk memperoleh nilai interval (A,B) dengan peluang 90%, dengan meninggalkan 5% disetiap ekor dari \({\chi ^2}(20)\) diperoleh:
\(\frac{{20{S^2}}}{B} = \chi _{0.95}^2(20) = 10.85\) (*)
dan
\(\frac{{20{S^2}}}{A} = \chi _{0.05}^2(20) = 31.41\) (**)
(dilihat nilai pada tabel chi-square)
berdasarkan (*) dan (**) dan \({S^2} = 16,\) maka
\(A = \frac{{20{\rm{ x 16}}}}{{31.41}} = 10.19{\rm{ dan }}B = \frac{{20{\rm{ x 16}}}}{{10.85}} = 29.49.\) |
| Jawaban |
E. \(A = 10.19{\rm{ dan }}B = 29.49\) |
