A20 - Probabilitas dan StatistikaAktuariaEdukasi

Pembahasan Ujian PAI: A20 – No. 18 – Mei 2018

By Agus Sofian Eka Hidayat, S.Pd., M.Ed., M.Sc. On Mar 1, 2019 Last updated Mar 4, 2019

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	A20 – Probabilitas dan Statistika
Periode Ujian	:	Mei 2018
Nomor Soal	:	2018

SOAL

Sebuah sampel acak dengan 21 data digunakan untuk mengestimasi variansi dari populasi yang berdistribusi normal. Nilai dari . Berapakah nilai sedemikian sehingga kita dapat 90% percaya bahwa .

\(A = 2.1{\rm{ dan }}B = 21.6\)
\(A = 3.8{\rm{ dan }}B = 26.7\)
\(A = 0.26{\rm{ dan }}B = 1.11\)
\(A = 70.65{\rm{ dan }}B = 73.95\)
\(A = 70.65{\rm{ dan }}B = 73.95\)

Kunci Jawaban & Pembahasan

Agus Sofian Eka Hidayat, S.Pd., M.Ed., M.Sc. 99 posts 0 comments

Saat ini saya bekerja sebagai dosen di President University pada Program Studi Aktuaria. Saya merupakan lulusan Magister Matematika minat Aktuaria dari Universitas Gadjah Mada. Selain itu saya juga merupakan lulusan dari Monash University untuk program Master of Education.

Diketahui	Sampel acak \(n = 21,\), Populasi X berdistribusi normal Variasi sampel \({S^2} = 16\) Tarif keyakinan 90%
Rumus	JIka X merupakan variabel random populasi normal, Maka random variabel \(\frac{{(n – 1){S^2}}}{{\sigma _X^2}}\) adalah chi-square dengan drajat kebebasan \((n – 1)\). \(\frac{{(n – 1){S^2}}}{{\sigma _X^2}} \sim {\chi ^2}(n – 1) = \Gamma \left( {\frac{{n – 1}}{2},2} \right)\) Interval kepercayaan dari arisansi populasi normal \([\frac{{(n – 1){S^2}}}{{\chi _{\alpha /2}^2(n – 1)}} < {\chi ^2}(20) < \frac{{(n – 1){S^2}}}{{\chi _{1 – \alpha /2}^2(n – 1)}}]\)
Pembahasan	Dipunyai \(\frac{{(n – 1){S^2}}}{{\sigma _X^2}} = \frac{{20{S^2}}}{{\sigma _X^2}} \sim {\chi ^2}(20).\) \(90\% = \Pr [A < \sigma _X^2 < B]\) \(= \Pr [\frac{1}{B} < \frac{1}{{\sigma _X^2}} < \frac{1}{A}]\) \(= [\frac{{20{S^2}}}{B} < \frac{{20{S^2}}}{{\sigma _X^2}} < \frac{{20{S^2}}}{A}]\) \(= [\frac{{20{S^2}}}{B} < {\chi ^2}(20) < \frac{{20{S^2}}}{A}]\)Untuk memperoleh nilai interval (A,B) dengan peluang 90%, dengan meninggalkan 5% disetiap ekor dari \({\chi ^2}(20)\) diperoleh: \(\frac{{20{S^2}}}{B} = \chi _{0.95}^2(20) = 10.85\) () dan \(\frac{{20{S^2}}}{A} = \chi _{0.05}^2(20) = 31.41\) () (dilihat nilai pada tabel chi-square) berdasarkan () dan (**) dan \({S^2} = 16,\) maka \(A = \frac{{20{\rm{ x 16}}}}{{31.41}} = 10.19{\rm{ dan }}B = \frac{{20{\rm{ x 16}}}}{{10.85}} = 29.49.\)
Jawaban	E. \(A = 10.19{\rm{ dan }}B = 29.49\)