Pembahasan Ujian PAI: A20 – No. 25 – Juni 2014

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Probabilita dan Statistika
Periode Ujian	:	Juni 2014
Nomor Soal	:	25

SOAL

Misalkan Y adalah variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut :

\(F(y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,{\rm{ }}untuk{\rm{ }}y \le a}\\ {1 – {e^{ – {\rm{ }}\frac{1}{2}{{(y – a)}^2}}},{\rm{ }}lainnya} \end{array}} \right.\)

dimana \(a\) adalah konstanta. Maka besar dari persentil ke-75 sama dengan …

1. F(0,75)
2. \(a – \sqrt {2\ln 2} \)
3. \(a + \sqrt {2\ln 2} \)
4. \(a – 2\sqrt {\ln 2} \)
5. \(a + 2\sqrt {\ln 2} \)

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui	Misalkan Y adalah variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut : \(F(y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,{\rm{ }}untuk{\rm{ }}y \le a}\\ {1 – {e^{ – {\rm{ }}\frac{1}{2}{{(y – a)}^2}}},{\rm{ }}lainnya} \end{array}} \right.\)
Rumus yang digunakan	\({F_Y}({y_p}) = 0,75\)
Proses pengerjaan	\({F_Y}(y) = 1 – {e^{ – {\rm{ }}\frac{{{{(y – a)}^2}}}{2}}},y > a\) Akan dicari \({y_p}\) sehingga \({F_Y}({y_p}) = 0,75\) \({F_Y}({y_p}) = 0,75\) \(\Leftrightarrow 1 – {e^{{\rm{ }}\frac{{{{({y_p} – a)}^2}}}{{ – 2}}}} = 0,75\) \(\Leftrightarrow {e^{{\rm{ }}\frac{{{{({y_p} – a)}^2}}}{{ – 2}}}} = 0,25\) \(\Leftrightarrow \frac{{{{({y_p} – a)}^2}}}{{ – 2}} = – 2\ln 2\) \(\Leftrightarrow ({y_p} – a) = \pm 2\sqrt {\ln 2} \) Karena \({F_Y}(y) = 1 – {e^{ – {\rm{ }}\frac{{{{(y – a)}^2}}}{2}}},y > a\) maka \(({y_p} – a){\rm{ }}\) haruslah positif. Sehingga \({y_p} = a + 2\sqrt {\ln 2} \)
Jawaban	e. \(a + 2\sqrt {\ln 2} \)

[/showhide]