Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Probabilita dan Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2014 |
| Nomor Soal |
: |
25 |
SOAL
Misalkan Y adalah variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut :
\(F(y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,{\rm{ }}untuk{\rm{ }}y \le a}\\ {1 – {e^{ – {\rm{ }}\frac{1}{2}{{(y – a)}^2}}},{\rm{ }}lainnya} \end{array}} \right.\)
dimana \(a\) adalah konstanta. Maka besar dari persentil ke-75 sama dengan …
- F(0,75)
- \(a – \sqrt {2\ln 2} \)
- \(a + \sqrt {2\ln 2} \)
- \(a – 2\sqrt {\ln 2} \)
- \(a + 2\sqrt {\ln 2} \)
| Diketahui |
Misalkan Y adalah variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut :
\(F(y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,{\rm{ }}untuk{\rm{ }}y \le a}\\ {1 – {e^{ – {\rm{ }}\frac{1}{2}{{(y – a)}^2}}},{\rm{ }}lainnya} \end{array}} \right.\) |
| Rumus yang digunakan |
\({F_Y}({y_p}) = 0,75\) |
| Proses pengerjaan |
\({F_Y}(y) = 1 – {e^{ – {\rm{ }}\frac{{{{(y – a)}^2}}}{2}}},y > a\)
Akan dicari \({y_p}\) sehingga \({F_Y}({y_p}) = 0,75\)
\({F_Y}({y_p}) = 0,75\)
\(\Leftrightarrow 1 – {e^{{\rm{ }}\frac{{{{({y_p} – a)}^2}}}{{ – 2}}}} = 0,75\)
\(\Leftrightarrow {e^{{\rm{ }}\frac{{{{({y_p} – a)}^2}}}{{ – 2}}}} = 0,25\)
\(\Leftrightarrow \frac{{{{({y_p} – a)}^2}}}{{ – 2}} = – 2\ln 2\)
\(\Leftrightarrow ({y_p} – a) = \pm 2\sqrt {\ln 2} \)
Karena \({F_Y}(y) = 1 – {e^{ – {\rm{ }}\frac{{{{(y – a)}^2}}}{2}}},y > a\) maka \(({y_p} – a){\rm{ }}\) haruslah positif.
Sehingga \({y_p} = a + 2\sqrt {\ln 2} \) |
| Jawaban |
e. \(a + 2\sqrt {\ln 2} \) |
