Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Keluarga Joko membeli dua polis dari perusahaan asuransi yang sama. Kerugian atas dua polis tersebut saling bebas dan memiliki distribusi kontinyu seragam pada interval 0 sampai 10. Satu polis memiliki deductible 1, dan yang satunya memiliki deductible 2. Keluarga Joko mengalami tepat satu kerugian dari masing-masing polis. Hitung peluang total manfaat yang dibayarkan ke Keluarga Joko tidak melebihi 5!
- 0,13
- 0,25
- 0,30
- 0,32
- 0,42
PEMBAHASAN
| Diketahui | X1 ialah kerugian pada polis 1 X2 ialah kerugian pada polis 2 |
| Step 1 | \({f_{{X_1}}}(x) = {f_{{X_2}}}(x) = \frac{1}{{10}},0 < {x_1},{x_2} < 10\) \({f_{{X_1}}}{,_{{X_2}}}({x_1},{x_2}) = {f_{{X_1}}}(x){f_{{X_2}}}(x)\) \({f_{{X_1}}}{,_{{X_2}}}({x_1},{x_2}) = \frac{1}{{10}}\left( {\frac{1}{{10}}} \right)\) \({f_{{X_1}}}{,_{{X_2}}}({x_1},{x_2}) = \frac{1}{{100}}\) |
| Step 2 | \({Y_1} = ({X_1} – 1)\) \({Y_1} = \left\{ \begin{array}{l}0,{x_1} < 1\\{x_1} – 1,{x_1} > 1\end{array} \right.\) \({Y_2} = ({X_2} – 1)\) \({Y_2} = \left\{ \begin{array}{l}0,{x_2} < 2\\{x_2} – 2,{x_2} > 2\end{array} \right.\) \({Y_1} + {Y_2} = \left\{ \begin{array}{l}0,{x_1} < 1,{x_2} < 2\\{x_1} + {x_2}- 3,{x_1} > 1,{x_2} > 2\end{array} \right.\) |
| Step 3 | 
\({x_1} > 1,{x_2} > 2\)
\({Y_1} + {Y_2} \le 5 = {x_1} + {x_2} – 3 \le 5\)
\({Y_1} + {Y_2} \le 5 = {x_1} + {x_2} \le 8\) |
| Step 4 | \(P({Y_1} + {Y_2} \le 5) = {f_{{X_1}}}{,_{{X_2}}}({x_1},{x_2})(\frac{{8(8)}}{2} – 2(1))\) \(P({Y_1} + {Y_2} \le 5) = \frac{1}{{100}}(30)\) \(P({Y_1} + {Y_2} \le 5) = 0,30\) |
| Jawaban | C. 0,30 |