Pembahasan Ujian PAI: A50 - No. 23 - November 2018

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Metoda Statistika
Periode Ujian	:	November 2018
Nomor Soal	:	23

SOAL

Sebuah studi pada interval \(\left( {x,x + 1} \right)\)

Diketahui:

\({}_s{p_x} = 1 – \frac{3}{2}{s^2}{\left( {{q_x}} \right)^2}\) untuk \(0 \le s \le \frac{2}{3}\)
\({}_s{p_x} = 1 – s{\left( {{q_x}} \right)^2}\) untuk \(\frac{2}{3} < s < 1\)

Jika \({n_x} = 300\), dan 1 kematian terjadi di usia \(x + 0,45\) dan 1 kematian lagi pada usia \(x + 0,85\)

Tentukanlah MLE dari \({q_x}\)

0,013
0,018
0,020
0,022
0,024

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	\({}_s{p_x} = 1 – \frac{3}{2}{s^2}{\left( {{q_x}} \right)^2}\) atau \(0 \le s \le \frac{2}{3}\) \({}_s{p_x} = 1 – s{\left( {{q_x}} \right)^2}\) atau \(\frac{2}{3} < s < 1\) \({n_x} = 300\) 1 kematian terjadi di usia \(x + 0,45\) dan 1 kematian lagi pada usia \(x + 0,85\)
Rumus yang digunakan	\(L = {\left( {1 – {q_x}} \right)^{{n_x} – {d_x}}} \cdot \prod\limits_{i = 1}^d {{}_{{s_i}}{p_x}{\mu _{x + {s_i}}}} \) Untuk asumsi linear \({}_s{p_x} = 1 – s \cdot {q_x}\) dan \({\mu _{x + s}} = \frac{{{q_x}}}{{1 – s \cdot {q_x}}}\)
Proses Pengerjaan	Untuk \(0 \le s \le \frac{2}{3}\) \({}_{{s_i}}{p_x}{\mu _{x + {s_i}}} = \left[ {1 – \frac{3}{2}{s^2}{{\left( {{q_x}} \right)}^2}} \right] \cdot \left[ {\frac{{{{\left( {{q_x}} \right)}^2}}}{{1 – \frac{3}{2}{s^2}{{\left( {{q_x}} \right)}^2}}}} \right]\) \(= {\left( {{q_x}} \right)^2}\)
	Untuk \(\frac{2}{3} < s < 1\) \({}_{{s_i}}{p_x}{\mu _{x + {s_i}}} = \left[ {1 – s{{\left( {{q_x}} \right)}^2}} \right] \cdot \left[ {\frac{{{{\left( {{q_x}} \right)}^2}}}{{1 – s{{\left( {{q_x}} \right)}^2}}}} \right]\) \(= {\left( {{q_x}} \right)^2}\)
	\(L = {\left( {1 – {q_x}} \right)^{{n_x} – {d_x}}} \cdot \prod\limits_{i = 1}^d {{}_{{s_i}}{p_x}{\mu _{x + {s_i}}}} \) \(= {\left( {1 – {q_x}} \right)^{300 – 2}} \cdot {\left( {{q_x}} \right)^2} \cdot {\left( {{q_x}} \right)^2}\) \(l = \ln \left[ {{{\left( {1 – {q_x}} \right)}^{300 – 2}} \cdot {{\left( {{q_x}} \right)}^2} \cdot {{\left( {{q_x}} \right)}^2}} \right]\) \(= 288\ln \left( {1 – {q_x}} \right) + 2\ln {q_x} + 2\ln {q_x}\) Dilakukan proses differential \(\frac{{dl}}{{d{q_x}}} = 288\ln \left( {1 – {q_x}} \right) + 2\ln {q_x} + 2\ln {q_x}\) \(0 = – \frac{{288}}{{1 – {q_x}}} + \frac{2}{{{q_x}}} + \frac{2}{{{q_x}}}\) \(\frac{{288}}{{1 – {q_x}}} = \frac{4}{{{q_x}}}\) \(4 – 4{q_x} = 288{q_x}\) \({q_x} = \frac{4}{{302}} = 0,01324\)
Jawaban	a. 0,013

Pembahasan Ujian PAI: A50 – No. 23 – November 2018