Pembahasan Ujian PAI: A10 - No. 26 - November 2015

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Matematika Keuangan
Periode Ujian	:	November 2015
Nomor Soal	:	26

SOAL

Anuitas A membayarkan sebesar 1 diawal tiap tahun selama tiga tahun. Anuitas B membayarkan sebesar 1 diawal tiap tahun selama 4 tahun. Macaulay durationdari anuitas A pada saat pembelian adalah 0,93. Kedua anuitas menawarkan tingkat hasil investasi yang sama. Hitunglah Macaulay durationdari anuitas B pada saat pembelian (pembulatan terdekat)!

1,240
1,369
1,500
1,930
1,965

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui	\(PM{T_A} = 1\) \({n_A} = 3\) \(PM{T_B} = 1\) \({n_B} = 4\) \(Mac{D_A} = 0,93\)
Rumus yang digunakan	\(MacD = \frac{{\sum\limits_{t = 0}^n {t{v^t}C{F_t}} }}{{\sum\limits_{t = 0}^n {{v^t}C{F_t}} }}\)
Proses pengerjaan	Anuitas A \(MacD = \frac{{\sum\limits_{t = 0}^n {t{v^t}C{F_t}} }}{{\sum\limits_{t = 0}^n {{v^t}C{F_t}} }}\) \(0,93 = \frac{{\sum\limits_{t = 0}^2 {t{v^t}C{F_t}} }}{{\sum\limits_{t = 0}^2 {{v^t}C{F_t}} }}\) \(0,93 = \frac{{v + 2{v^2}}}{{1 + v + {v^2}}}\) \(0,93 + 0,93v + 0,93{v^2} = v + 2{v^2}\) \(1,07{v^2} + 0,07v – 0,93 = 0\) Akar – akar dari persamaan tersebut adalah v1 = 0, 90015 dan v2 = −0, 96557. Catat bahwa nilai dari v2 = −0, 96557 tidak memenuhi, karena nilai v yang digunakan haruslah positif. Anuitas B \(MacD = \frac{{\sum\limits_{t = 0}^3 {t{v^t}C{F_t}} }}{{\sum\limits_{t = 0}^3 {{v^t}C{F_t}} }} = \frac{{v + 2{v^2} + 3{v^3}}}{{1 + v + {v^2} + {v^3}}}\) \(MacD = \frac{{(0,90015){\rm{ }} + 2{{(0,90015)}^2} + 3{{(0,90015)}^3}}}{{1 + 0,90015 + {\rm{ }}{{(0,90015)}^2} + {\rm{ }}{{(0,90015)}^3}}}\) \(MacD = 1,3689182 \approx 1,369\)
Jawaban	B. 1,369