Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Berikut ini merupakan harga terkini dari obligasi tanpa kupon (zero-coupon bonds) senilai 100 juta:
| Tenor Obligasi (tahun) | Harga (juta) |
| 1 | 94.340 |
| 2 | X |
| 3 | 80.508 |
Jika 1 tahun forward rate untuk tahun ke-2 (yaitu satu tahun tingkat bunga efektif pada tahun ke-2) sebesar 8%, tentukan X! (pilihlah jawaban pada puluhan ribu terdekat)
a. 86,54 juta
b. 87,35 juta
c. 87,42 juta
d. 87,68 juta
e. 88,17 juta
| Diketahui | \(C = 100\) juta
\(P_{1} = 94{,}340\) juta \(P_{3} = 80{,}508\) juta Forward rate 1 tahun untuk tahun ke-2: \({}_{1}^{2}f = 8\%\) |
| Rumus yang digunakan | Hubungan antara spot rate dan forward rate: $$\left(1 + s_{t+m}\right)^{t+m} = \left(1 + s_{t}\right)^{t} \times \left(1 + {}_{m}^{t}f\right)^{m}$$ Harga obligasi menggunakan spot rate: $$P_{n} = \frac{C}{\left(1 + s_{n}\right)^{n}}$$ dengan C menyatakan redemption value. |
| Proses pengerjaan | Mencari spot rate setiap tahun: $$P_{1} = \frac{C}{1 + s_{1}}$$ $$P_{3} = \frac{C}{\left(1 + s_{3}\right)^{3}}$$ Diketahui \({}_{1}^{2}f = 0{,}08\), dapat digunakan untuk mencari spot rate tahun ke-2: $$\left(1 + s_{t+m}\right)^{t+m} = \left(1 + s_{t}\right)^{t} \times \left(1 + {}_{m}^{t}f\right)^{m}$$ Kemudian akan dicari nilai \(X\), yakni \(P_{2}\) menggunakan spot rate tahun ke-2 \((s_{2})\) tersebut: $$P_{2} = \frac{C}{\left(1 + s_{2}\right)^{2}}$$ Dengan demikian, diperoleh nilai \(X\) sebesar 87,35 juta. |
| Jawaban | b. 87,35 juta |