Pembahasan Ujian PAI: A10 – No. 20 – April 2024

Cicilan besarnya sama setiap akhir tahun, misalkan dengan \(R\):

$$a_{\overline{n}|i} = \frac{1 – (1 + i)^{-n}}{i}$$

Besaran bunga pada pembayaran ke-t:

$$I_{t} = i \times OLB_{t-1}$$

Sisa pinjaman (outstanding loan balance) dengan metode prospektif:

$$OLB_{t} = R\,a_{\overline{n-t}|i}$$

Dengan menghubungkan formula dari besar pembayaran bunga dan sisa pinjaman, dapat disusun persamaan berikut:

$$I_{8} = 13{,}5$$
$$i \times OLB_{7} = 13{,}5$$
$$i \times R\,a_{\overline{35-7}|i} = 13{,}5$$
$$i \times R \times \frac{1 – (1 + i)^{-28}}{i} = 13{,}5$$
$$R\left(1 – (1 + i)^{-28}\right) = 13{,}5 \qquad \cdots (1)$$

$$I_{22} = 10{,}8$$
$$i \times OLB_{21} = 10{,}8$$
$$i \times R\,a_{\overline{35-21}|i} = 10{,}8$$
$$i \times R \times \frac{1 – (1 + i)^{-14}}{i} = 10{,}8$$
$$R\left(1 – (1 + i)^{-14}\right) = 10{,}8 \qquad \cdots (2)$$

Bagi persamaan (1) dan (2) sehingga nilai  dapat diperoleh, sebagai berikut:

$$\frac{R\left(1 – (1 + i)^{-28}\right)}{R\left(1 – (1 + i)^{-14}\right)} = \frac{13{,}5}{10{,}8}$$
$$\frac{1 – (1 + i)^{-28}}{1 – (1 + i)^{-14}} = 1{,}25$$

Misalkan \((1 + i)^{-14} = x\), maka:

$$\frac{1 – x^{2}}{1 – x} = 1{,}25$$
$$1 – x^{2} = 1{,}25 – 1{,}25x$$
$$x^{2} – 1{,}25x + 0{,}25 = 0$$
$$(x – 1)(x – 0{,}25) = 0$$
$$x_{1} = 1 \quad \text{dan} \quad x_{2} = 0{,}25$$

Diperoleh solusi persamaan kuadrat yakni \(x_{1} = 1\) dan \(x_{2} = 0{,}25\).

Dengan demikian, diperoleh \((1 + i)^{-14} = 1\) dan \((1 + i)^{-14} = 0{,}25\).

Dipilih nilai \((1 + i)^{-14} = 0{,}25\) karena diasumsikan \(i \neq 0\);

Diperoleh nilai \(i = \left(\frac{1}{0{,}25}\right)^{\frac{1}{14}} – 1 = 0{,}10409\)

Karena \(i\) diperoleh, maka besar cicilan tetap per tahun, yakni \(R\) dapat diperoleh sebagai berikut:

$$R\left(1 – (1 + i)^{-14}\right) = 10{,}8$$
$$R\left(1 – (1{,}10409)^{-14}\right) = 10{,}8$$
$$R\,(0{,}75) = 10{,}8$$
$$R = 14{,}4$$

Selanjutnya, diperoleh besar pembayaran bunga pada pembayaran ke-29 yaitu:

$$I_{29} = i \times OLB_{28}$$
$$I_{29} = i \times R\,a_{\overline{35-28}|i}$$
$$I_{29} = i \times R \times \frac{1 – (1 + i)^{-7}}{i} = R\left(1 – (1 + i)^{-7}\right)$$
$$I_{29} = 14{,}4\left(1 – (1{,}10409)^{-7}\right)$$
$$I_{29} = 14{,}4\,(0{,}5) = 7{,}2 \text{ juta}$$

Jadi, besar pembayaran bunga pada pembayaran ke-29 sebesar 7,2 juta.