Pembahasan Ujian PAI: A10 – No. 08 – Juli 2024

Nilai sekarang anuitas X dan Y sama, yakni \(v^{10} = 0{,}5\)

$$a_{\overline{n}|i} = \frac{1 – (1 + i)^{-n}}{i}$$

Nilai sekarang (Present Value/PV) dari suatu nilai:

$$A(0) = \frac{A(t)}{(1 + i)^{t}} = A(t)\,v^{t}$$

PV dari anuitas X sama dengan hasil jumlah dari PV setiap pembayaran, yakni sebesar 1 selama 10 tahun pertama (anuitas 10 tahun), kemudian sebesar 2 selama 10 tahun berikutnya (yakni anuitas 10 tahun yang didiskontokan 10 tahun ke titik 0), selanjutnya kembali sebesar 1 selama 10 tahun terakhir (yakni anuitas 10 tahun yang didiskontokan 20 tahun ke titik 0).

Dapat dituliskan sebagai berikut:

$$PV(X) = a_{\overline{10}|i} + 2a_{\overline{10}|i}\,v^{10} + a_{\overline{10}|i}\,v^{20}$$
$$PV(X) = a_{\overline{10}|i} + 2a_{\overline{10}|i}(0{,}5) + a_{\overline{10}|i}(0{,}5)^{2}$$
$$PV(X) = a_{\overline{10}|i}\left(1 + 1 + 0{,}25\right)$$
$$PV(X) = 2{,}25\,a_{\overline{10}|i}$$

Adapun PV dari anuitas Y dapat dihitung sebagai anuitas 10 tahun (sebesar K per tahun) ditambah dengan anuitas 10 tahun (sebesar K per tahun) yang didiskontokan 20 tahun ke titik 0.

Dapat dituliskan sebagai berikut:

$$PV(Y) = K\,a_{\overline{10}|i} + K\,a_{\overline{10}|i}\,v^{20}$$
$$PV(Y) = K\,a_{\overline{10}|i} + K\,a_{\overline{10}|i}(0{,}5)^{2}$$
$$PV(Y) = 1{,}25K\,a_{\overline{10}|i}$$

Diketahui bahwa PV anuitas X dan Y sama, maka dapat dituliskan persamaan berikut:

$$PV(X) = PV(Y)$$
$$2{,}25\,a_{\overline{10}|i} = 1{,}25K\,a_{\overline{10}|i}$$
$$2{,}25 = 1{,}25K$$
$$K = 1{,}8$$

Dengan demikian, nilai K sebesar 1,8 juta.