Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Shanice menyetorkan 1000 ke dalam rekening pada 1 Januari 2023. Grace menyetorkan 500 ke dalam rekening pada 1 Januari 2024, dan 600 lagi ke dalam rekening pada 1 Januari 2025. Pada 1 Januari 2027 rekening tersebut memiliki jumlah yang sama. Rekening tersebut memperoleh bunga tahunan yang sama . Tentukan besar dari tingkat bunganya.
a. 6,2%
b. 6,4%
c. 6,6%
d. 6,8%
e. 7,0%
| Diketahui | Shanice: A : 1000 \(\rightarrow\) 1 Januari 2023 Grace : A : 500 \(\rightarrow\) 1 Januari 2024 B : 600 \(\rightarrow\) 1 Januari 2025 Pada \(n =4\) (1 Januari 2027), kedua rekening bernilai sama, dengan tingkat bunga tahunan efektif \(i\) yang sama untuk kedua rekening |
| Rumus yang digunakan | Nilai akumulasi (future value) suatu setoran \(C\) pada waktu \(t\), dihitung pada waktu \(n\) kemudian, menggunakan faktor akumulasi \((1 + i)^{n-t}\) : $$FV = C(1 + i)^{n-t}$$ Karena kedua rekening bernilai sama pada 1 Januari 2027, maka nilai akumulasi Rekening Shanice sama dengan nilai akumulasi Rekening Grace: $$FV_{\text{Shanice}} = FV_{\text{Grace}}$$ |
| Proses pengerjaan | Rekening Shanice (setoran 1000 di \(t = 0\) dan \(n = 4\)) : $$FV_{\text{Shanice}} = 1000(1 + i)^{4-0} = 1000(1 + i)^{4}$$ Rekening Grace (melakukan dua setoran. Setoran pertama 500 dengan \(t=1\) dan setoran kedua 600 dengan \(t=2\), dimana keduanya adalah \(n=4\)) $$FV_{\text{Grace}} = 500(1 + i)^{4-1} + 600(1 + i)^{4-2} = 500(1 + i)^{3} + 600(1 + i)^{2}$$ Samakan kedua persamaan: $$1000(1 + i)^{4} = 500(1 + i)^{3} + 600(1 + i)^{2}$$ Bagi kedua ruas dengan \((1+i)^{2}\): $$1000(1 + i)^{2} = 500(1 + i) + 600$$ Misalkan \(x = 1+i\): $$1000x^{2} = 500x + 600$$ Sederhanakan dengan membagi 100: $$10x^{2} – 5x – 6 = 0$$ Gunakan rumus kuadrat dengan \(a = 10\), \(b = -5\), dan \(c = -6\): $$\begin{aligned} $$\sqrt{265} \approx 16{,}27882$$ Ambil akar positif karena \(x = 1+i > 0\): $$\begin{aligned} Sehingga tingkat bunga: $$i = 1{,}063941 – 1 \approx 0{,}063941 \text{ atau } 6{,}4\%$$ |
| Jawaban | b. 6,4% |