Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
A20 – Probabilitas dan Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2017 |
| Nomor Soal |
: |
15 |
SOAL
Distribusi gamma dengan parameter \(\alpha\) dan \(\beta\) memiliki fungsi kepadatan peluang
\(f(x) = \frac{{{\beta ^\alpha }.{\rm{ }}{x^{\alpha – 1}}.{\rm{ }}{e^{\beta x}}}}{{\Gamma (\alpha )}},x > 0\)
Distribusi Weibull dengan parameter \(\tau\) dan \(\theta\) memiliki fungsi kepadatan peluang
\(f(x) = \frac{{\tau {{(\frac{x}{\theta })}^\tau }{e^{ – {{(\frac{x}{\theta })}^\tau }}}}}{x},x > 0\)
Distribusi dibawah ini yang sama dengan distribusi eksponensial dengan mean 2 adalah
- Chi square dengan derajat kebebasan 2
- Distribusi gamma dengan \(\alpha = 1\) dan \(\beta = 2\)
- Weibull dengan \(\tau = 1,\) dan \(\theta {\rm{ = 2}}\)
- Lognormal dengan \(\mu = 0\) dan \({\sigma ^2} = 1\)
- i,ii,iii benar
- i,iii benar
- ii, iv benar
- Hanya iv yang benar
- Semuanya benar
PEMBAHASAN
| Diketahui |
\(X\) berdistribusi eksponensial dengan \({\mu _X} = 2\), maka \({\lambda _x}{\rm{ = }}\frac{1}{2},\) sehingga
\(f(x) = \frac{1}{2}{e^{ – \frac{1}{2}x}}\)
Dipunyai:
\({\rm{chi – square}}{\rm{, k = 2}}\)
\({\rm{gamma}}{\rm{, }}\alpha {\rm{ = 1}}{\rm{, }}\beta {\rm{ = 2}}\)
\({\rm{Weibull}}{\rm{, }}\tau {\rm{ = 1}}{\rm{, }}\theta {\rm{ = 2}}\)
\({\rm{Lognormal}}{\rm{, }}\mu {\rm{ = 0}}{\rm{, }}\sigma = 1{\rm{ }}\) |
| Rumus |
\(Gamma\) \(\alpha {\rm{,}}\beta \)
\(f(x) = \frac{{{\beta ^\alpha }.{\rm{ }}{x^{\alpha – 1}}.{\rm{ }}{e^{\beta x}}}}{{\Gamma (\alpha )}},x > 0\)
\(Weibull\) \({\rm{ }}\tau ,\theta \)
\(f(x) = \frac{{\tau {{(\frac{x}{\theta })}^\tau }{e^{ – {{(\frac{x}{\theta })}^\tau }}}}}{x},x > 0\)
\(chisquare\) \({\rm{ }}k\)
\(f(x) = \frac{{{x^{\frac{k}{2} – 1}}{e^{\frac{{ – x}}{2}}}}}{{{2^{\frac{k}{2}}}\Gamma (\frac{k}{2})}}\)
\(Lognormal\)
\(f(x) = \frac{1}{{x\sigma \sqrt {2\pi } }}{e^{ – \frac{{{{(\ln x – \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}\) |
| Penjelasan |
\(Gamma\) \({\rm{ }}\alpha = 1,\beta = 2\)
\(f(x) = \frac{{{2^1}.{\rm{ }}{x^{1 – 1}}.{\rm{ }}{e^{2x}}}}{{\Gamma (1)}} = 2{e^{2x}}\)
\(Weibull\) \({\rm{ }}\tau = 1,\theta = 2\)
\(f(x) = \frac{{1{{(\frac{x}{2})}^1}{e^{ – (\frac{x}{2})1}}}}{x} = \frac{1}{2}{e^{ – \frac{1}{2}x}}\)
\(chisquare\) \({\rm{ }}k = 2\)
\(f(x) = \frac{{{x^{\frac{2}{2} – 1}}{e^{\frac{{ – x}}{2}}}}}{{{2^{\frac{2}{2}}}\Gamma (\frac{2}{2})}} = \frac{1}{2}{e^{ – \frac{1}{2}x}}\)
\(Lognormal\) \({\rm{ }}\mu = 0,{\sigma ^2} = 1\)
\(f(x) = \frac{1}{{x\sqrt {2\pi } }}{e^{ – \frac{{{{(\ln 1)}^2}}}{2}}}\)
Sehingga yang bersesuaian adalah dan chi square |
| Jawaban |
b. i dan iii |
