Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
\(X\) dan \(Y\) merupakan continuous random variabel dengan joint density function
\(f(x,y) = \left\{ \begin{array}{l}15y{\rm{, untuk }}{x^2} \le y \le x\\0{\rm{ }}{\rm{, untuk lainnya }} \end{array} \right\}\) \(g\) merupakan marginal density function dari \(Y\) . Manakah yang merepresentasikan \(g\)?- \(g(y) = \left\{ \begin{array}{l}15y{\rm{, untuk 0}} \le y \le 1\\0{\rm{ }}{\rm{, untuk lainnya }} \end{array} \right\}\)
- \(g(y) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{15{y^2}}}{2}{\rm{, untuk }}{x^2} \le y \le x\\0{\rm{ }}{\rm{, untuk lainnya }}\end{array} \right\}\)
- \(g(y) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{15{y^2}}}{2}{\rm{, untuk }}0 \le y \le 1\\0{\rm{ }}{\rm{, untuk lainnya }}\end{array} \right\}\)
- \(g(y) = \left\{ \begin{array}{l}15{y^{3/2}}(1 – {y^{1/2}}),{\rm{ untuk }}{x^2} \le y \le x\\0{\rm{ }}{\rm{, untuk lainnya}}\end{array} \right\}\)
- \(g(y) = \left\{ \begin{array}{l}15{y^{3/2}}(1 – {y^{1/2}}),{\rm{ untuk }}0 \le y \le 1\\0{\rm{ }}{\rm{, untuk lainnya}}\end{array} \right\}\)
PEMBAHASAN
| Diketahui | \(f(x,y) = \left\{ \begin{array}{l}15y{\rm{, untuk }}{x^2} \le y \le x\\ 0{\rm{ }}{\rm{, untuk lainnya }}\end{array} \right\}\) |
| Rumus | \(f(y) = \int {f(x,y)dx} \) |
| Pembahasan | Dipunyai \({x^2} \le y \le x,{\rm{ artinya }}\) \(x \ge y{\rm{ atau y}} \ge {x^2} \Leftrightarrow \sqrt x \le y\) \({\rm{Sehingga }}\) \(\sqrt y \le x \le y\)\({\rm{Selanjutnya diketahui}}{\rm{,}}\) \(g(y) = f(y)\) \(= \int\limits_{}^{} {f(x,y)dx} \) \(= \int\limits_y^{\sqrt y } {15y{\rm{ }}dx} \) \(= 15yx|_y^{\sqrt y }\) \(= 15{y^{3/2}} – 15{y^2}\) \(= 15{y^{3/2}}(1 – {y^{1/2}})\) \({\rm{maka }}\) \(g(y) = \left\{ \begin{array}{l}15{y^{3/2}}(1 – {y^{1/2}}),{\rm{ untuk }}{x^2} \le y \le x\\0{\rm{ }}{\rm{, untuk lainnya}}\end{array} \right\}\) |
| Jawaban | d. \(g(y) = \left\{ \begin{array}{l}15{y^{3/2}}(1 – {y^{1/2}}),{\rm{ untuk }}{x^2} \le y \le x\\0{\rm{ }}{\rm{, untuk lainnya}}\end{array} \right\}\) |