Pembahasan Ujian PAI: A20 - No. 15 - Mei 2017

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	A20 – Probabilitas dan Statistika
Periode Ujian	:	Mei 2017
Nomor Soal	:	15

SOAL

Distribusi gamma dengan parameter \(\alpha\) dan \(\beta\) memiliki fungsi kepadatan peluang

\(f(x) = \frac{{{\beta ^\alpha }.{\rm{ }}{x^{\alpha – 1}}.{\rm{ }}{e^{\beta x}}}}{{\Gamma (\alpha )}},x > 0\)

Distribusi Weibull dengan parameter \(\tau\) dan \(\theta\) memiliki fungsi kepadatan peluang

\(f(x) = \frac{{\tau {{(\frac{x}{\theta })}^\tau }{e^{ – {{(\frac{x}{\theta })}^\tau }}}}}{x},x > 0\)

Distribusi dibawah ini yang sama dengan distribusi eksponensial dengan mean 2 adalah

Chi square dengan derajat kebebasan 2
Distribusi gamma dengan \(\alpha = 1\) dan \(\beta = 2\)
Weibull dengan \(\tau = 1,\) dan \(\theta {\rm{ = 2}}\)
Lognormal dengan \(\mu = 0\) dan \({\sigma ^2} = 1\)

i,ii,iii benar
i,iii benar
ii, iv benar
Hanya iv yang benar
Semuanya benar

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	\(X\) berdistribusi eksponensial dengan \({\mu _X} = 2\), maka \({\lambda _x}{\rm{ = }}\frac{1}{2},\) sehingga \(f(x) = \frac{1}{2}{e^{ – \frac{1}{2}x}}\) Dipunyai: \({\rm{chi – square}}{\rm{, k = 2}}\) \({\rm{gamma}}{\rm{, }}\alpha {\rm{ = 1}}{\rm{, }}\beta {\rm{ = 2}}\) \({\rm{Weibull}}{\rm{, }}\tau {\rm{ = 1}}{\rm{, }}\theta {\rm{ = 2}}\) \({\rm{Lognormal}}{\rm{, }}\mu {\rm{ = 0}}{\rm{, }}\sigma = 1{\rm{ }}\)
Rumus	\(Gamma\) \(\alpha {\rm{,}}\beta \) \(f(x) = \frac{{{\beta ^\alpha }.{\rm{ }}{x^{\alpha – 1}}.{\rm{ }}{e^{\beta x}}}}{{\Gamma (\alpha )}},x > 0\) \(Weibull\) \({\rm{ }}\tau ,\theta \) \(f(x) = \frac{{\tau {{(\frac{x}{\theta })}^\tau }{e^{ – {{(\frac{x}{\theta })}^\tau }}}}}{x},x > 0\) \(chisquare\) \({\rm{ }}k\) \(f(x) = \frac{{{x^{\frac{k}{2} – 1}}{e^{\frac{{ – x}}{2}}}}}{{{2^{\frac{k}{2}}}\Gamma (\frac{k}{2})}}\) \(Lognormal\) \(f(x) = \frac{1}{{x\sigma \sqrt {2\pi } }}{e^{ – \frac{{{{(\ln x – \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}\)
Penjelasan	\(Gamma\) \({\rm{ }}\alpha = 1,\beta = 2\) \(f(x) = \frac{{{2^1}.{\rm{ }}{x^{1 – 1}}.{\rm{ }}{e^{2x}}}}{{\Gamma (1)}} = 2{e^{2x}}\) \(Weibull\) \({\rm{ }}\tau = 1,\theta = 2\) \(f(x) = \frac{{1{{(\frac{x}{2})}^1}{e^{ – (\frac{x}{2})1}}}}{x} = \frac{1}{2}{e^{ – \frac{1}{2}x}}\) \(chisquare\) \({\rm{ }}k = 2\) \(f(x) = \frac{{{x^{\frac{2}{2} – 1}}{e^{\frac{{ – x}}{2}}}}}{{{2^{\frac{2}{2}}}\Gamma (\frac{2}{2})}} = \frac{1}{2}{e^{ – \frac{1}{2}x}}\) \(Lognormal\) \({\rm{ }}\mu = 0,{\sigma ^2} = 1\) \(f(x) = \frac{1}{{x\sqrt {2\pi } }}{e^{ – \frac{{{{(\ln 1)}^2}}}{2}}}\) Sehingga yang bersesuaian adalah dan chi square
Jawaban	b. i dan iii

Pembahasan Ujian PAI: A20 – No. 15 – Mei 2017