Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Pada tingkat bunga tahunan efektif \(i\), Hollice dapat melunasi pinjaman sebesar \(K\) dengan dua cara :
1) 475 dibayarkan sekarang dan 475 dalam 1 tahun, atau
2) 570 dalam 2 tahun dan 570 dalam 3 tahun.
Tentukanlah nilai dari \(K\).
a. 893
b. 901
c. 909
d. 917
e. 925
| Diketahui | Cara 1: 475 dibayarkan pada \(t = 0\) dan 475 pada \(t = 1\) Cara 2: 570 dibayarkan pada \(t = 2\) dan 570 pada \(t = 3\) |
| Rumus yang digunakan | Kedua cara pembayaran melunasi pinjaman \(K\) yang sama, sehingga nilai sekarang (present value) dari kedua skema pembayaran harus sama pada tingkat bunga efektif \(i\), dengan faktor diskon $$v = \frac{1}{1 + i}$$ Persamaan nilai (equation of value) secara umum adalah : $$PV_{a} = PV_{b}$$ Setiap pembayaran \(C_{t}\) terjadi pada waktu \(t\), nilai sekarang (pada =0) dihitung dengan mengalikannya dengan faktor diskon : $$PV = \sum C_{t} \cdot v^{t}$$ Cara 1 : $$PV_{1} = 475 \cdot v^{0} + 475 \cdot v^{1}$$ Cara 2 : $$PV_{2} = 570 \cdot v^{2} + 570 \cdot v^{3}$$ |
| Proses pengerjaan | Susun persamaan nilai dari kedua cara pembayaran: $$475 + 475v = 570v^{2} + 570v^{3}$$ Faktorkan kedua ruas: $$475(1 + v) = 570v^{2}(1 + v)$$ Karena \((1+v) \neq 0\), bagi kedua ruas dengan \((1+v)\): $$475 = 570v^{2}$$ Cari nilai \(v\): $$\begin{aligned} Substitusikan nilai \(v\) untuk mencari \(K\) (menggunakan Cara 1): $$\begin{aligned} |
| Jawaban | c. 909 |