Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Suatu annuitas membayar sebesar 2 di akhir tiap tahun selama 18 tahun. Annuitas lainnya membayar sebesar 2,5 di akhir tiap tahun selama 9 tahun. Diketahui pada tingkat bunga efektif tahunan i, 0 < i <1, nilai sekarang dari kedua annuitas tersebut adalah sama. Nilai dari i mendekati?
- 14%
- 17%
- 20%
- 23%
- 26%
| Diketahui | \(PM{T_1} = 2\) \({n_1} = 18\) \(PM{T_2} = 2,5\) \({n_2} = 9\) |
| Rumus yang digunakan | \(PM{T_1}{\rm{ }}{a_{\left. {\overline {\, {{n_1}} \,}}\! \right| {\rm{ }}i}} = PM{T_2}{\rm{ }}{a_{\left. {\overline {\, {{n_2}} \,}}\! \right| {\rm{ }}i}}\) |
| Proses pengerjaan | \(PM{T_1}{\rm{ }}{a_{\left. {\overline {\, {{n_1}} \,}}\! \right| {\rm{ }}i}} = PM{T_2}{\rm{ }}{a_{\left. {\overline {\, {{n_2}} \,}}\! \right| {\rm{ }}i}}\)
\(2{\rm{ }}{a_{\left. {\overline {\, {18} \,}}\! \right| {\rm{ }}i}} = 2,5{\rm{ }}{a_{\left. {\overline {\, 9 \,}}\! \right| {\rm{ }}i}}\)
\(2{\rm{ }}\left( {\frac{{1 – {{\left( {\frac{1}{{1 + i}}} \right)}^{18}}}}{i}} \right) = 2,5{\rm{ }}\left( {\frac{{1 – {{\left( {\frac{1}{{1 + i}}} \right)}^9}}}{i}} \right)\)
\({(1 + i)^{18}} – 5{(1 + i)^9} + 4 = 0\)
Misalkan \({(1 + i)^9} = x{\rm{ }}\) untuk \({\rm{ }}i > 0\) maka \(x > 1\) sehingga persamaan menjadi \({x^2} – 5x + 4 = 0\)yang mana hanya dipenuhi oleh solusi x = 4 maka \({(1 + i)^9} = 4\) \(i = 0,16653 \approx 17\% \) |
| Jawaban | b. 17% |