Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | November 2015 |
| Nomor Soal | : | 9 |
SOAL
Diberikan informasi sebagai berikut:
- Banyaknya klaim mengikuti sebuah distribusi negative binomial (\(r\), \(\beta \) = 3)
- Besar klaim mempunyai distribusi seperti table di bawah:
- Banyaknya klaim saling bebas dengan besar klaim
| Besar Klaim | Peluang |
| 1 | 0.4 |
| 10 | 0.4 |
| 100 | 0.2 |
Tentukan ekspektasi banyaknya klaim untuk jumlah “aggregate” kerugian sedemikian hingga berada 10% di dalam ekspektasi “aggregate” kerugian dengan peluang sebesar 95%!
- 2.496
- 2.823
- 3.515
- 4.265
- 2.121
| Diketahui | - Banyaknya klaim mengikuti sebuah distribusi negative binomial (\(r\), \(\beta \) = 3)
- Besar klaim mempunyai distribusi seperti table di bawah:
- Banyaknya klaim saling bebas dengan besar klaim
| Besar Klaim | Peluang | | 1 | 0.4 | | 10 | 0.4 | | 100 | 0.2 | Frekuensi dinotasikan dengan N
Besar klaim dinotasikan dengan S
Aggregate kerugian dinotasikan dengan L |
| Rumus yang digunakan | - \(E[N]{\rm{ }} = r\beta \)
- \(Var(N){\rm{ }} = r\beta (1 + \beta )\)
- \(Var(S){\rm{ }} = E[{S^2}] – {(E[S])^2}\)
- \(E[L]{\rm{ }} = E[N] \cdot E[S]\)
- \(Var(L) = E[N] \cdot Var(S){\rm{ }} + Var(N) \cdot {(E[S])^2}\)
|
| Proses pengerjaan | \(E[N]{\rm{ }} = r\beta \)
\(Var(N){\rm{ }} = r\beta (1 + \beta )\)
\(E[S]{\rm{ }} = 1(0,4){\rm{ }} + 10(0,4){\rm{ }} + 100(0,2){\rm{ }} = 24,4\)
\(E[{S^2}]{\rm{ }} = {1^2}(0,4){\rm{ }} + {10^2}(0,4){\rm{ }} + {100^2}(0,2){\rm{ }} = 2.040,4\)
\(Var(S){\rm{ }} = E[{S^2}] – {(E[S])^2} = 1.445,04\)
\(E[L]{\rm{ }} = E[N]\, \cdot E[S]{\rm{ }} = 73,2r\)
\(Var(L) = E[N]\, \cdot Var(S){\rm{ }} + Var(N) \cdot {(E[S])^2}\)
\(Var(L) = 3r(1.445,04){\rm{ }} + 12r{(24,4)^2} = 11.479,44r\)
\(95\% {\rm{ }}CI:{Z_{0,95}} = 1,96\)
Toleransi \({\lambda _0} = {\left( {\frac{{1,96}}{{10\% }}} \right)^2} = 384,16\)
\(\frac{{{\lambda _0} \cdot Var(L)}}{{E{{[L]}^2}}} = \frac{{384,16(11,479.44r)}}{{{{(73,2r)}^2}}} = \frac{{823,02}}{r}\)
Banyaknya klaim yang harus ada = \(\frac{{823,02}}{r}\left( {3r} \right) = 2.469,06\) |
| Jawaban | A. 2.496 |
