Pembahasan Ujian PAI: A70 – No. 7 – Mei 2017

1. Banyaknya klaim tahunan untuk seseorang tertanggung memiliki fungsi probabilitas:
   \(p\left( x \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ x \end{array}} \right){q^x}{\left( {1 – q} \right)^{3 – x}}\),  \(x = 0,1,2,3\)
2. The prior density adalah \(\pi \left( q \right) = 2q\),  \(0 < q < 1\)

Seorang tertanggung yang dipilih secara acak diketahui tidak melakukan klaim (zero claim) pada tahun pertama.

Binomial: \(E\left[ X \right] = np\) dan \(Var\left( X \right) = npq\) \({k = \frac{v}{a},}\)  \({Z = \frac{n}{{n + k}},}\)  \({{P_C} = Z\bar x + \left( {1 – Z} \right)\mu }\) \(\mu = E\left[ {\mu \left( \Theta \right)} \right] = E\left[ {E\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\) ekspektasi dari hypothetical mean
\(a = Var\left[ {\mu \left( \Theta \right)} \right] = Var\left[ {E\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\) varians dari hypothetical mean
\(v = E\left[ {v\left( \Theta \right)} \right] = E\left[ {Var\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\) ekspektasi dari process varians

• Mean dan varians distribusi prior
  \(E\left[ Q \right] = \int\limits_0^1 {q \cdot 2qdq} = \frac{2}{3}\) dan \(Var\left( Q \right) = \int\limits_0^1 {{q^2} \cdot 2qdq} – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{1}{2} – \frac{4}{9} = \frac{1}{{18}}\)
• Diketahui \(\left. X \right|q \sim Bin\left( {3,q} \right)\) sehingga
  \(E\left[ {\left. X \right|q} \right] = 3q\) dan \(Var\left( {\left. X \right|q} \right) = 3q\left( {1 – q} \right)\)