Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2017 |
| Nomor Soal |
: |
7 |
SOAL
Diberikan data sebagai berikut:
- Banyaknya klaim tahunan untuk seseorang tertanggung memiliki fungsi probabilitas:
\(p\left( x \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ x \end{array}} \right){q^x}{\left( {1 – q} \right)^{3 – x}}\), \(x = 0,1,2,3\)
- The prior density adalah \(\pi \left( q \right) = 2q\), \(0 < q < 1\)
Seorang tertanggung yang dipilih secara acak diketahui tidak melakukan klaim (zero claim) pada tahun pertama.
Untuk tertanggung yang terpilih tersebut, hitunglah estimasi banyaknya klaim pada tahun kedua dengan menggunakan metode kredibilitas Buhlmann.
- 0,33
- 0,50
- 1,00
- 1,33
- 1,50
| Diketahui |
Diberikan data sebagai berikut:
- Banyaknya klaim tahunan untuk seseorang tertanggung memiliki fungsi probabilitas:
\(p\left( x \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ x \end{array}} \right){q^x}{\left( {1 – q} \right)^{3 – x}}\), \(x = 0,1,2,3\)
- The prior density adalah \(\pi \left( q \right) = 2q\), \(0 < q < 1\)
Seorang tertanggung yang dipilih secara acak diketahui tidak melakukan klaim (zero claim) pada tahun pertama.
|
| Rumus yang digunakan |
Empirik: \(E\left[ X \right] = \int {xf\left( x \right)dx} \) dan \(Var\left( X \right) = E\left[ {{X^2}} \right] – E{\left[ X \right]^2} = \int {{x^2}f\left( x \right)dx} – E{\left[ X \right]^2}\)
Binomial: \(E\left[ X \right] = np\) dan \(Var\left( X \right) = npq\)
\({k = \frac{v}{a},}\) \({Z = \frac{n}{{n + k}},}\) \({{P_C} = Z\bar x + \left( {1 – Z} \right)\mu }\)
\(\mu = E\left[ {\mu \left( \Theta \right)} \right] = E\left[ {E\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\) ekspektasi dari hypothetical mean
\(a = Var\left[ {\mu \left( \Theta \right)} \right] = Var\left[ {E\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\) varians dari hypothetical mean
\(v = E\left[ {v\left( \Theta \right)} \right] = E\left[ {Var\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\) ekspektasi dari process varians |
| Proses pengerjaan |
- Mean dan varians distribusi prior
\(E\left[ Q \right] = \int\limits_0^1 {q \cdot 2qdq} = \frac{2}{3}\) dan \(Var\left( Q \right) = \int\limits_0^1 {{q^2} \cdot 2qdq} – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{1}{2} – \frac{4}{9} = \frac{1}{{18}}\)
- Diketahui \(\left. X \right|q \sim Bin\left( {3,q} \right)\) sehingga
\(E\left[ {\left. X \right|q} \right] = 3q\) dan \(Var\left( {\left. X \right|q} \right) = 3q\left( {1 – q} \right)\)
|
|
\(\mu = E\left[ {\mu \left( Q \right)} \right] = E\left[ {3Q} \right] = 3E\left[ Q \right] = 3\left( {\frac{2}{3}} \right) = 2\)
\(v = E\left[ {v\left( Q \right)} \right] = E\left[ {3Q – 3{Q^2}} \right] = 3\left( {\frac{2}{3}} \right) – 3\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\)
\(a = Var\left( {\mu \left( Q \right)} \right) = Var\left( {3Q} \right) = 9Var\left( Q \right) = 9\left( {\frac{1}{{18}}} \right) = \frac{1}{2}\) |
|
\(Z = \frac{n}{{n + k}} = \frac{1}{{1 + \frac{{0.5}}{{0.5}}}} = 0.5\) sehingga
\({P_C} = Z\bar x + \left( {1 – Z} \right)\mu = 0.5\left( 0 \right) + 0.5\left( 2 \right) = 1\) |
| Jawaban |
c. 100 |
Hello. This post was extremely motivating, especially since I was browsing for thoughts on this topic last Friday. Vitoria Westbrook Coltson
I am not rattling great with English but I come up this real easy to translate. Anne Renaud Lukasz
Amazing things here. I am very happy to see your article. Ondrea Griffy Grand