Pembahasan-Soal-Ujian-Profesi-Aktuaris-1024x481 (3) pai

Pembahasan Ujian PAI: A70 – No. 7 – Mei 2017

by
with 3 comments
A70 - Pemodelan dan Teori RisikoAktuariaEdukasiPembahasan Ujian Profesi Aktuaris (Persatuan Aktuaris Indonesia / PAI)

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi:Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian:Pemodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian:Mei 2017
Nomor Soal:7

SOAL

Diberikan data sebagai berikut:

  1. Banyaknya klaim tahunan untuk seseorang tertanggung memiliki fungsi probabilitas:
    \(p\left( x \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ x \end{array}} \right){q^x}{\left( {1 – q} \right)^{3 – x}}\),  \(x = 0,1,2,3\)
  2. The prior density adalah \(\pi \left( q \right) = 2q\),  \(0 < q < 1\)

Seorang tertanggung yang dipilih secara acak diketahui tidak melakukan klaim (zero claim) pada tahun pertama.
Untuk tertanggung yang terpilih tersebut, hitunglah estimasi banyaknya klaim pada tahun kedua dengan menggunakan metode kredibilitas Buhlmann.

  1. 0,33
  2. 0,50
  3. 1,00
  4. 1,33
  5. 1,50
[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]
DiketahuiDiberikan data sebagai berikut:

  1. Banyaknya klaim tahunan untuk seseorang tertanggung memiliki fungsi probabilitas:
    \(p\left( x \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ x \end{array}} \right){q^x}{\left( {1 – q} \right)^{3 – x}}\),  \(x = 0,1,2,3\)
  2. The prior density adalah \(\pi \left( q \right) = 2q\),  \(0 < q < 1\)

Seorang tertanggung yang dipilih secara acak diketahui tidak melakukan klaim (zero claim) pada tahun pertama.

Rumus yang digunakanEmpirik: \(E\left[ X \right] = \int {xf\left( x \right)dx} \) dan \(Var\left( X \right) = E\left[ {{X^2}} \right] – E{\left[ X \right]^2} = \int {{x^2}f\left( x \right)dx} – E{\left[ X \right]^2}\)

Binomial: \(E\left[ X \right] = np\) dan \(Var\left( X \right) = npq\) \({k = \frac{v}{a},}\)  \({Z = \frac{n}{{n + k}},}\)  \({{P_C} = Z\bar x + \left( {1 – Z} \right)\mu }\) \(\mu = E\left[ {\mu \left( \Theta \right)} \right] = E\left[ {E\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\) ekspektasi dari hypothetical mean
\(a = Var\left[ {\mu \left( \Theta \right)} \right] = Var\left[ {E\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\) varians dari hypothetical mean
\(v = E\left[ {v\left( \Theta \right)} \right] = E\left[ {Var\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\) ekspektasi dari process varians

Proses pengerjaan
  • Mean dan varians distribusi prior
    \(E\left[ Q \right] = \int\limits_0^1 {q \cdot 2qdq} = \frac{2}{3}\) dan \(Var\left( Q \right) = \int\limits_0^1 {{q^2} \cdot 2qdq} – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{1}{2} – \frac{4}{9} = \frac{1}{{18}}\)
  • Diketahui \(\left. X \right|q \sim Bin\left( {3,q} \right)\) sehingga
    \(E\left[ {\left. X \right|q} \right] = 3q\) dan \(Var\left( {\left. X \right|q} \right) = 3q\left( {1 – q} \right)\)
\(\mu = E\left[ {\mu \left( Q \right)} \right] = E\left[ {3Q} \right] = 3E\left[ Q \right] = 3\left( {\frac{2}{3}} \right) = 2\) \(v = E\left[ {v\left( Q \right)} \right] = E\left[ {3Q – 3{Q^2}} \right] = 3\left( {\frac{2}{3}} \right) – 3\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\) \(a = Var\left( {\mu \left( Q \right)} \right) = Var\left( {3Q} \right) = 9Var\left( Q \right) = 9\left( {\frac{1}{{18}}} \right) = \frac{1}{2}\)
\(Z = \frac{n}{{n + k}} = \frac{1}{{1 + \frac{{0.5}}{{0.5}}}} = 0.5\) sehingga
\({P_C} = Z\bar x + \left( {1 – Z} \right)\mu = 0.5\left( 0 \right) + 0.5\left( 2 \right) = 1\)
Jawabanc. 100
[/showhide]

3 Responses

Leave A Comment

You must be logged in to post a comment