Pembahasan Ujian PAI: A70 - No. 26 - November 2016

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Permodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	November 2016
Nomor Soal	:	26

SOAL

Diberikan data sebagai berikut:

Banyaknya klaim tahunan berdistribusi Poisson dengan mean \(\lambda \).
Parameter \(\lambda \) memiliki prior distribution dengan fungsi kepadatan peluang
\(f\left( \lambda \right) = \frac{1}{3}\exp \left[ { – \frac{\lambda }{3}} \right]\), \(\lambda > 0\)
Sebanyak 2 klaim diamati selama tahun pertama.

Hitunglah variansi dari posterior distribution untuk \(\lambda \)

\(\frac{9}{{16}}\)
\(\frac{{27}}{{16}}\)
\(\frac{9}{4}\)
\(\frac{{16}}{3}\)
\(\frac{{27}}{4}\)

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui	Diberikan data sebagai berikut: Banyaknya klaim tahunan berdistribusi Poisson dengan mean \(\lambda \). Parameter \(\lambda \) memiliki prior distribution dengan fungsi kepadatan peluang \(f\left( \lambda \right) = \frac{1}{3}\exp \left[ { – \frac{\lambda }{3}} \right]\), \(\lambda > 0\) Sebanyak 2 klaim diamati selama tahun pertama.
Rumus yang digunakan	Poisson: \(\Pr \left( {X = x} \right) = \frac{{{\lambda ^x}\exp \left[ { – \lambda } \right]}}{{x!}}\) Gamma: \(\frac{{{x^{\alpha – 1}} \cdot \exp \left[ { – \frac{x}{\theta }} \right]}}{{\Gamma \left( \alpha \right){\theta ^\alpha }}}\) \(Var\left( X \right) = \alpha {\theta ^2}\) \({\pi _{\left. \Theta \right\|X}}\left( {\left. \theta \right\|x} \right) = {f_{\left. X \right\|\Theta }}\left( {\left. x \right\|\theta } \right) \cdot {\pi _\Theta }\left( \theta \right)\)
Proses pengerjaan	Dari 2 klaim yang diamati diperoleh \(f\left( {\left. {x = 2} \right\|\lambda } \right) = \frac{{{\lambda ^2}\exp \left[ { – \lambda } \right]}}{{2!}} \propto {\lambda ^2}\exp \left[ { – \lambda } \right]\)
	PDF dari distribusi posterior-nya adalah \({\pi _{\left. \Theta \right\|X}}\left( {\left. \theta \right\|x} \right) = {\lambda ^2}\exp \left[ { – \lambda } \right] \cdot \frac{1}{3}\exp \left[ { – \frac{\lambda }{3}} \right] \propto {\lambda ^2}\exp \left[ { – \frac{{4\lambda }}{3}} \right]\)
	Dari PDF distribusi posterior kita ketahui bahwa PDF tersebut merupakan distribusi Gamma dengan parameter \(\alpha = 2 + 1 = 3\) dan \(\theta = \frac{3}{4}\) sehingga variansinya adalah \(Var\left( \lambda \right) = \left( 3 \right){\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{{27}}{{16}}\)
Jawaban	B. \(\frac{{27}}{{16}}\)