Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Kamu diberikan informasi sebagai berikut:
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(\Pr \left[ {X = x} \right]\) | 0,5 | 0,3 | 0,1 | 0,1 |
Method of moments digunakan untuk memperkirakan populasi rata-rata, \(\mu \) , dan variansi, \({\sigma ^2}\) , dengan \(\bar X\) dan \(S_n^2 = \frac{{\sum {{{\left( {{X_i} – \bar X} \right)}^2}} }}{n}\) , berturutan.
Hitunglah bias dari \(S_n^2\) , ketika \(n = 4\)
- – 0,72
- – 0,49
- – 0,24
- – 0,08
- 0,08
| Diketahui |
Method of moments digunakan untuk memperkirakan populasi rata-rata, \(\mu \) , dan variansi, \({\sigma ^2}\) , dengan \(\bar X\) dan \(S_n^2 = \frac{{\sum {{{\left( {{X_i} – \bar X} \right)}^2}} }}{n}\) | ||||||||||
| Rumus yang digunakan |
| ||||||||||
| Proses pengerjaan | Kita tahu bahwa unbiased estimator untuk varians adalah \({S^2} = \frac{{\sum {{{\left( {{X_i} – \bar X} \right)}^2}} }}{{n – 1}}\) dengan kata lain \(E\left[ {{S^2}} \right] = {\sigma ^2}\) . Tetapi \(E\left[ {S_n^2} \right] = \frac{{n – 1}}{n}E\left[ {{S^2}} \right] = \frac{{n – 1}}{n}{\sigma ^2}\) \(E\left[ {S_n^2} \right] – {\sigma ^2} = \frac{{n – 1}}{n}{\sigma ^2} – {\sigma ^2}\) \(E\left[ {S_n^2} \right] – {\sigma ^2} = \left( {\frac{{n – 1}}{n} – 1} \right){\sigma ^2}\) \(E\left[ {S_n^2} \right] – {\sigma ^2} = – \frac{{{\sigma ^2}}}{n}\) \(\mu = 0\left( {0.5} \right) + 1\left( {0.3} \right) + 2\left( {0.1} \right) + 3\left( {0.1} \right) = 0.8\) \({\sigma ^2} = {0^2}\left( {0.5} \right) + {1^2}\left( {0.3} \right) + {2^2}\left( {0.1} \right) + {3^2}\left( {0.1} \right) – {0.8^2} = 0.96\) Jadi, nilai bias-nya \(= – \frac{{{\sigma ^2}}}{n} = – \frac{{0.96}}{4} = – 0.24\) | ||||||||||
| Jawaban | C. – 0,24 |