Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
18 |
SOAL
Sebuah asuransi “3-year term life” pada \(\left( x \right)\) membayarkan 5000 pada akhir tahun kematian.
Diberikan sebagai berikut:
- “Spot rates” untuk 1 tahun zero–coupon bond 0,05 dan 2 tahun zero–coupon bond 0,06
- \(\begin{array}{*{20}{c}}{{q_x} = 0,01}&{{q_{x + 1}} = 0,015}&{{q_{x + 2}} = 0,02}\end{array}\)
- Z adalah “present value” variabel acak untuk asuransi
Hitunglah “2-year forward rate” untuk “1-year bond”
- 0,063
- 0,066
- 0,069
- 0,072
- 0,075
| Diketahui |
Sebuah asuransi “3-year term life” pada \(\left( x \right)\) membayarkan 5000 pada akhir tahun kematian.
Diberikan sebagai berikut:
- “Spot rates” untuk 1 tahun zero–coupon bond 0,05 dan 2 tahun zero–coupon bond 0,06
- \(\begin{array}{*{20}{c}}{{q_x} = 0,01}&{{q_{x + 1}} = 0,015}&{{q_{x + 2}} = 0,02}\end{array}\)
- Z adalah “present value” variabel acak untuk asuransi
|
| Rumus yang digunakan |
Forward rate \(f\left( {t,T} \right)\) adalah rate untuk suatu “\(T – t\) year zero-coupon bond” yang dikeluarkan pada saat \(t\)
- \({\left( {1 + f\left( {t,T} \right)} \right)^{T – t}} = \frac{{{{\left( {1 + {y_T}} \right)}^T}}}{{{{\left( {1 + {y_t}} \right)}^t}}}\)
- \(E\left[ Z \right] = \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{b_{k + 1}}{v^{k + 1}}{}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} \)
- \({}_t{p_x} = \prod\limits_{k = 0}^{t – 1} {{p_{x + k}}} \)
|
| Proses pengerjaan |
\(1 + f\left( {1,2} \right) = \frac{{{{\left( {1.06} \right)}^2}}}{{\left( {1.05} \right)}} = 1.070095\)
\(E\left[ Z \right] = 5000\left( {{v_1} \cdot {q_1} + {v_1} \cdot {v_2} \cdot {p_x} \cdot {q_{x + 1}} + {v_1} \cdot {v_2} \cdot {v_3} \cdot {}_2{p_x} \cdot {q_{x + 2}}} \right)\)
\(194.89 = 5000\left( {\frac{{0.01}}{{1.05}} + \frac{{\left( {0.99} \right)\left( {0.015} \right)}}{{\left( {1.05} \right)\left( {1.070095} \right)}} + \frac{{\left( {0.99} \right)\left( {0.985} \right)\left( {0.02} \right)}}{{\left( {1.05} \right)\left( {1.070095} \right)\left( {1 + f\left( {2,3} \right)} \right)}}} \right)\)
\(194.89 = 47.61904762 + 66.08223555 + \frac{{86.78800269}}{{\left( {1 + f\left( {2,3} \right)} \right)}}\)
\(81.18871683 = \frac{{86.78800269}}{{\left( {1 + f\left( {2,3} \right)} \right)}}\)
\(f\left( {2,3} \right) = \frac{{86.78800269}}{{81.18871683}} – 1\)
\(f\left( {2,3} \right) = 0.06897\) |
| Jawaban |
C. 0,069 |
