Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Sebuah distribusi Pareto mempunyai parameter dan diketahui memiliki fungsi kepadatan peluang \(f(x) = \frac{{\alpha {\theta ^\alpha }}}{{{{(x + \theta )}^{\alpha + 1}}}},\,x > 0.\) Misalkan \(\alpha = 3\) dan \(\theta = 200.\) Y diketahui adalah distribusi kondisional dari X-100 diberikan X>100. Berapa nilai dari masing-masing parameter dari distribusi pareto Y?
- \(\alpha = 3\,\,\& \,\,\theta = 200\)
- \(\alpha = 3\,\,\& \,\,\theta = 300\)
- \(\alpha = 4\,\,\& \,\,\theta = 200\)
- \(\alpha = 4\,\,\& \,\,\theta = 300\)
- \(\alpha = 3\,\,\& \,\,\theta = 100\)
PEMBAHASAN
| Kalkulasi | \({S_X}(x) = {\left( {\frac{{200}}{{200 + x}}} \right)^3} = P(X > x)\) \(P(Y > y) = P(X – 100 > y|X > 100)\) \(P(Y > y) = P(X > y + 100|X > 100)\) \(P(Y > y) = {S_X}(y + 100|X > 100)\) \(P(Y > y) = \frac{{{S_X}(y + 100)}}{{P(X > 100)}}\) \(P(Y > y) = \frac{{{S_X}(y + 100)}}{{{S_X}(100)}}\) \(P(Y > y) = \frac{{{{\left( {\frac{{200}}{{200 + (y + 100)}}} \right)}^3}}}{{{{\left( {\frac{{200}}{{200 + 100}}} \right)}^3}}}\) \(P(Y > y) = {\left( {\frac{{300}}{{300 + y}}} \right)^3}\) \(Y\, \sim Pareto\,(\alpha = 3,\theta = 300)\) |
| Jawaban | b. \(\alpha = 3\,\,\& \,\,\theta = 300\) |