Pembahasan Ujian PAI: A60 - No. 18 - November 2016

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Matematika Aktuaria
Periode Ujian	:	November 2016
Nomor Soal	:	18

SOAL

Sebuah asuransi “3-year term life” pada \(\left( x \right)\) membayarkan 5000 pada akhir tahun kematian.
Diberikan sebagai berikut:

“Spot rates” untuk 1 tahun zero–coupon bond 0,05 dan 2 tahun zero–coupon bond 0,06
\(\begin{array}{*{20}{c}}{{q_x} = 0,01}&{{q_{x + 1}} = 0,015}&{{q_{x + 2}} = 0,02}\end{array}\)
Z adalah “present value” variabel acak untuk asuransi

Hitunglah “2-year forward rate” untuk “1-year bond”

0,063
0,066
0,069
0,072
0,075

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui	Sebuah asuransi “3-year term life” pada \(\left( x \right)\) membayarkan 5000 pada akhir tahun kematian. Diberikan sebagai berikut: “Spot rates” untuk 1 tahun zero–coupon bond 0,05 dan 2 tahun zero–coupon bond 0,06 \(\begin{array}{{20}{c}}{{q_x} = 0,01}&{{q_{x + 1}} = 0,015}&{{q_{x + 2}} = 0,02}\end{array}\) Z adalah “present* value” variabel acak untuk asuransi
Rumus yang digunakan	Forward rate \(f\left( {t,T} \right)\) adalah rate untuk suatu “\(T – t\) year zero-coupon bond” yang dikeluarkan pada saat \(t\) \({\left( {1 + f\left( {t,T} \right)} \right)^{T – t}} = \frac{{{{\left( {1 + {y_T}} \right)}^T}}}{{{{\left( {1 + {y_t}} \right)}^t}}}\) \(E\left[ Z \right] = \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{b_{k + 1}}{v^{k + 1}}{}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} \) \({}_t{p_x} = \prod\limits_{k = 0}^{t – 1} {{p_{x + k}}} \)
Proses pengerjaan	\(1 + f\left( {1,2} \right) = \frac{{{{\left( {1.06} \right)}^2}}}{{\left( {1.05} \right)}} = 1.070095\) \(E\left[ Z \right] = 5000\left( {{v_1} \cdot {q_1} + {v_1} \cdot {v_2} \cdot {p_x} \cdot {q_{x + 1}} + {v_1} \cdot {v_2} \cdot {v_3} \cdot {}_2{p_x} \cdot {q_{x + 2}}} \right)\) \(194.89 = 5000\left( {\frac{{0.01}}{{1.05}} + \frac{{\left( {0.99} \right)\left( {0.015} \right)}}{{\left( {1.05} \right)\left( {1.070095} \right)}} + \frac{{\left( {0.99} \right)\left( {0.985} \right)\left( {0.02} \right)}}{{\left( {1.05} \right)\left( {1.070095} \right)\left( {1 + f\left( {2,3} \right)} \right)}}} \right)\) \(194.89 = 47.61904762 + 66.08223555 + \frac{{86.78800269}}{{\left( {1 + f\left( {2,3} \right)} \right)}}\) \(81.18871683 = \frac{{86.78800269}}{{\left( {1 + f\left( {2,3} \right)} \right)}}\) \(f\left( {2,3} \right) = \frac{{86.78800269}}{{81.18871683}} – 1\) \(f\left( {2,3} \right) = 0.06897\)
Jawaban	C. 0,069