Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
17 |
SOAL
Anda diberikan sebagai berikut:
- Rate kematian untuk \(\left( x \right)\) dan manfaat asuransi dibayarkan setiap tahun mengikuti tabel berikut:
| \(t\) |
\({q_{x + t – 1}}\) |
\({b_t}\) |
| 1 |
0,01 |
10 |
| 2 |
0,03 |
10 |
| 3 |
0,05 |
20 |
- \(i = 0.05\)
- Z adalah “present value” dari variabel acak untuk 3 asuransi “term life” pada \(\left( x \right)\) dengan manfaat pada tabel di atas dibayarkan pada akhir tahun kematian
Hitunglah \(Var\left( Z \right)\)
- 16,26
- 16,47
- 16,78
- 18,30
- 18,81
| Diketahui |
Anda diberikan sebagai berikut:
- Rate kematian untuk \(\left( x \right)\) dan manfaat asuransi dibayarkan setiap tahun mengikuti tabel berikut:
| \(t\) |
\({q_{x + t – 1}}\) |
\({b_t}\) |
| 1 |
0,01 |
10 |
| 2 |
0,03 |
10 |
| 3 |
0,05 |
20 |
- \(i = 0.05\)
- Z adalah “present value” dari variabel acak untuk 3 asuransi “term life” pada \(\left( x \right)\) dengan manfaat pada tabel di atas dibayarkan pada akhir tahun kematian
|
| Rumus yang digunakan |
- \(Var\left( Z \right) = E\left[ {{Z^2}} \right] – {\left( {E\left[ Z \right]} \right)^2}\)
- \(E\left[ Z \right] = \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{b_{t + 1}} \cdot {v^{k + 1}} \cdot {}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} \)
- \(E\left[ {{Z^2}} \right] = \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{{\left( {{b_{t + 1}} \cdot {v^{k + 1}}} \right)}^2} \cdot {}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} \)
- \({}_t{p_x} = \prod\limits_{k = 0}^{t – 1} {{p_{x + k}}} \)
|
| Proses pengerjaan |
\(E\left[ Z \right] = \sum\limits_{k = 0}^2 {{b_{t + 1}} \cdot {v^{k + 1}} \cdot {}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} \)
\(E\left[ Z \right] = 10\left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)\left( 1 \right)\left( {0.01} \right) + 10{\left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)^2}\left( {0.99} \right)\left( {0.03} \right)\)
\(+ 20{\left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)^3}\left( {0.99} \right)\left( {0.97} \right)\left( {0.05} \right)\)
\(E\left[ Z \right] = 1.194169\)
\(E\left[ {{Z^2}} \right] = \sum\limits_{k = 0}^2 {{{\left( {{b_{t + 1}} \cdot {v^{k + 1}}} \right)}^2} \cdot {}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} \)
\(E\left[ {{Z^2}} \right] = {10^2}{\left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)^2}\left( 1 \right)\left( {0.01} \right) + {10^2}{\left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)^4}\left( {0.99} \right)\left( {0.03} \right)\)
\(+ {20^2}{\left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)^6}\left( {0.99} \right)\left( {0.97} \right)\left( {0.05} \right)\)
\(E\left[ {{Z^2}} \right] = 17.682269\)
\(Var\left( Z \right) = E\left[ {{Z^2}} \right] – {\left( {E\left[ Z \right]} \right)^2}\)
\(Var\left( Z \right) = 17.682269 – {\left( {1.194169} \right)^2}\)
\(Var\left( Z \right) = 16.256229\) |
| Jawaban |
A. 16,26 |
