Pembahasan Ujian PAI: A10 - No. 8 - Juni 2015

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Matematika Keuangan
Periode Ujian	:	Juni 2015
Nomor Soal	:	8

SOAL

Erik menerima uang sebesar USD 12.000 dari polis Asuransi jiwa. Dia menggunakan dana tersebut untuk membeli 2 anuitas yang berbeda, yang masing – masing seharga USD 6.000. Anuitas pertama yang dibelinya adalah anuitas segera (due annuity) selama 24 tahun yang membayarkan sebesar USD K per tahun kepada dirinya. Anuitas kedua adalah anuitas segera (due annuity) selama 8 tahun yang membayarkan sebesar 2K per tahun kepada anaknya. Kedua anuitas tersebut dihitung dengan menggunakan asumsi tingkat bunga efektif tahunan i, dimana i > 0. Berapakah i ? (pembulatan terdekat)

6,0%
6,2%
6,4%
6,6%
6,8%

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	anuitas pertama : \(6000 = k{\ddot a_{\left. {\overline {\, {24} \,}}\! \right\| i}}\) anuitas kedua : \(6000 = 2k{\ddot a_{\left. {\overline {\, 8 \,}}\! \right\| i}}\)
Rumus yang digunakan	\({\ddot a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right\| }} = \frac{{1 – {v^n}}}{d}\)
Proses pengerjaan	\(k{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {24} \,}}\! \right\| i}} = 2k{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, 8 \,}}\! \right\| i}}\) \(\frac{{{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {24} \,}}\! \right\| i}}}}{{{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, 8 \,}}\! \right\| i}}}} = 2\) \(\frac{{\frac{{1 – {v^{24}}}}{d}}}{{\frac{{1 – {v^8}}}{d}}} = 2\) \(\frac{{1 – {v^{24}}}}{{1 – {v^8}}} = 2\) \(\frac{{\left( {1 – {v^8}} \right)\left( {1 + {v^8} + {v^{16}}} \right)}}{{1 – {v^8}}} = 2\) \({v^{16}} + {v^8} + 1 = 2\) \({v^{16}} + {v^8} – 1 = 0\) Misalkan \(x = {v^8}\), maka kita peroleh \({x^2} + x – 1 = 0\) \({x_{1,2}} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt {1 + 4} }}{{2(1)}}\) ambil nilai x positif, diperoleh: \(x = {v^8} = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2} = 0,618034\) \({(1 + i)^{ – 8}} = 0,618034\) \(i = 0,061997 \approx 0,062 = 6,2\% \)
Jawaban	B. 6,2%

Pembahasan Ujian PAI: A10 – No. 8 – Juni 2015