Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
November 2017 |
| Nomor Soal |
: |
9 |
SOAL
Hasil dari suatu studi dalam periode pengamatan tahun kalender 1983 adalah sebagai berikut:
| Individu |
Tanggal Lahir |
Tanggal Kematian |
| A |
1 April 1922 |
1 Juni 1983 |
| B |
1 Juli 1922 |
– |
| C |
1 Oktober 1922 |
1 Maret 1983 |
| D |
1 Januari 1923 |
– |
| E |
1 April 1923 |
– |
| F |
1 Juli 1923 |
1 Oktober 1983 |
| G |
X |
– |
- Pada tanggal 1 Januari 1983 semua individu ada dalam studi
- Tidak ada yang keluar dari studi ini selama periode pengamatan selain karena kematian.
- Dengan menggunakan pendekatan actuarial exposure, diperoleh \({\hat q_{60}} = \frac{4}{9}\).
Tentukan nilai \({\hat q_{60}}\) jika dihitung dengan pendekatan exact exposure (asumsi force of mortality adalah konstan).
- 0,315
- 0,468
- 0,559
- 0,631
- 0,689
| Diketahui |
Usia \(x = 60\) periode pengamatan tahun kalender 1983
| Individu |
Tanggal Lahir |
Tanggal Kematian |
| A |
1 April 1922 |
1 Juni 1983 |
| B |
1 Juli 1922 |
– |
| C |
1 Oktober 1922 |
1 Maret 1983 |
| D |
1 Januari 1923 |
– |
| E |
1 April 1923 |
– |
| F |
1 Juli 1923 |
1 Oktober 1983 |
| G |
X |
– |
- Pada tanggal 1 Januari 1983 semua individu ada dalam studi
- Tidak ada yang keluar dari studi ini selama periode pengamatan selain karena kematian.
- Dengan menggunakan pendekatan actuarial exposure, diperoleh \({\hat q_{60}} = \frac{4}{9}\).
|
| Rumus yang digunakan |
Exact exposure
\(\hat q = 1 – \exp \left( { – \frac{{{d_j}}}{{{e_j}}}} \right)\)
Actuarial exposure
\(\hat q = \frac{{{d_j}}}{{{e_j}}}\)
\({y_i} = \)tanggal awal pengamatan – tanggal lahir
\({z_i} = \)tanggal akhir pengamatan – tanggal lahir
\({\theta _i} = \)tanggal meninggal- tanggal lahir
\({\phi _i} = \)tanggal withdraw-tanggal lahir
\({r_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{y_i} \le x}\\ {{y_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {y_i} < x + 1} \end{array}} \right.\)
\({s_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {z_i} < x + 1}\\ {1\_{\rm{jika\_}}{z_i} \ge x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\iota _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} = 0}\\ {{\theta _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\theta _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\kappa _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} = 0}\\ {{\phi _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\phi _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\varepsilon _{eksak}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_tidak\_meninggal\_dan\_withdraw}}}\\ {{\kappa _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_withdraw}}}\\ {{\iota _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_meninggal}}} \end{array}} \right.\)
\({\varepsilon _{aktuaria}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_tidak\_meninggal\_dan\_withdraw}}}\\ {{\kappa _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_withdraw}}}\\ {1 – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_meninggal}}} \end{array}} \right.\) |
| Proses pengerjaan |
| Tgl Lahir |
\({y_i}\) |
\({z_i}\) |
\({\theta _i}\) |
\({\phi _i}\) |
\({r_i}\) |
\({s_i}\) |
\({\iota _i}\) |
\({\kappa _i}\) |
Eksposure
Aktuaria |
Eksposure
Eksak |
| 1 Apr 1922 |
60.75 |
61.75 |
61.17 |
|
0.75 |
1.00 |
|
|
0.25 |
0.25 |
| 1 Jul 1922 |
60.50 |
61.50 |
|
|
0.50 |
1.00 |
|
|
0.50 |
0.50 |
| 1 Okt 1922 |
60.25 |
61.25 |
60.41 |
|
0.25 |
1.00 |
0.41 |
|
0.75 |
0.16 |
| 1 Jan 1923 |
60.00 |
61.00 |
|
|
0.00 |
1.00 |
|
|
1.00 |
1.00 |
| 1 Apr 1923 |
59.75 |
60.75 |
|
|
0.00 |
0.75 |
|
|
0.75 |
0.75 |
| 1 Jul 1923 |
59.50 |
60.50 |
60.25 |
|
0.00 |
0.50 |
0.25 |
|
1.00 |
0.25 |
| X |
y |
z |
|
|
0.00 |
s |
|
|
s |
s |
| Total |
4.25+s |
2,91+s |
Actuarial exposure, karena terdapat 2 kematian pada kolom \({\iota _i}\) maka
\({{\hat q}_{60}} = \frac{2}{{4,25 + s}} = \frac{4}{9}\)
\(18 = 17 + 4s\)
\(s = 0,25\)
Exact exposure, karena terdapat 2 kematian pada kolom \({\iota _i}\) maka
\({{\hat q}_{60}} = 1 – \exp \left( { – \frac{2}{{2,91 + 0,25}}} \right)\)
\(= 0,468956\) |
| Jawaban |
b. 0,468 |
