Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Sebuah perusahaan asuransi mempunyai portofolio yang cukup besar pada asuransi properti. Diketahui bahwa X, nilai perlindungan dari sebuah properti yang dipilih secara acak dari portofolio, mengikuti sebuah distribusi dengan kepadatan peluang :
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 3{x^{ – 4\,}},\,\,x > 1\\ 0,\,\,x \le 1 \end{array} \right.\)Dengan fakta bahwa properti ini diasuransikan dengan nilai sedikitnya 1,5, berapa peluang bahwa nilai asuransi properti tersebut kurang dari 2?
- 0,578
- 0,684
- 0,704
- 0,829
- 0,875
PEMBAHASAN
| Step 1 | \(P(X < 2|X \ge 1,5) = \frac{{P(1,5 \le X < 2)}}{{P(X \ge 1,5)}}\) |
| Step 2 | \(P(1,5 \le X < 2) = \int\limits_{1,5}^2 {3{x^{ – 4}}dx} \) \(P(1,5 \le X < 2) = 3\left( { – \frac{1}{3}} \right)\left( {{2^{ – 3}} – 1,{5^{ – 3}}} \right)\) \(P(1,5 \le X < 2) = – \left( { – 0,171296} \right)\) \(P(1,5 \le X < 2) \cong 0,171\) |
| \(P(X \ge 1,5) = \int\limits_{1,5}^\infty {3{x^{ – 4}}dx} \) \(P(X \ge 1,5) = 3\left( { – \frac{1}{3}} \right)\left( {0 – 1,{5^{ – 3}}} \right)\) \(P(X \ge 1,5) = – \left( { – 0,296296} \right)\) \(P(X \ge 1,5) \cong 0,296\) | |
| Step 3 | \(P(X < 2|X \ge 1,5) = \frac{{0,171}}{{0,296}}\) \(P(X < 2|X \ge 1,5) = 0,5777\) \(P(X < 2|X \ge 1,5) \cong 0,578\) |
| Jawaban | a. 0,578 |