Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
Mata Ujian |
: |
A20 – Probabilitas dan Statistika |
Periode Ujian |
: |
Juni 2016 |
Nomor Soal |
: |
23 |
SOAL
Banyaknya jumlah klaim per bulan dimodelkan melalui peubah acak N dengan :
\(P(N = n) = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}\,,\,n \ge 0\)
Berapa peluang bahwa peluang setidaknya satu klaim terjadi pada suatu bulan, jika diketahui bahwa paling banyak terjadi 4 klaim pada bulan yang sama?
- 1/3
- 2/5
- 1/2
- 5/6
- 3/5
PEMBAHASAN
Diketahui |
\(P(N = n) = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}\,,\,n \ge 0\) |
Step 1 |
\(P(N \ge 1|N \le 4) = \frac{{P(1 \le N \le 4)}}{{P(N \le 4)}}\)
\(P(N \ge 1|N \le 4) = \frac{{P(N = 1) + P(N = 2) + P(N = 3) + P(N = 4)}}{{P(N = 0) + P(N = 1) + P(N = 2) + P(N = 3) + P(N = 4)}}\) |
Step 2 |
\(P(N = 0) = \frac{1}{{(0 + 1)(0 + 2)}} = \frac{1}{2}\)
\(P(N = 1) = \frac{1}{{(1 + 1)(1 + 2)}} = \frac{1}{6}\)
\(P(N = 2) = \frac{1}{{(2 + 1)(2 + 2)}} = \frac{1}{{12}}\)
\(P(N = 3) = \frac{1}{{(3 + 1)(3 + 2)}} = \frac{1}{{20}}\)
\(P(N = 4) = \frac{1}{{(4 + 1)(4 + 2)}} = \frac{1}{{30}}\) |
Step 3 |
\(P(N \ge 1|N \le 4) = \frac{{\frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}}}}{{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}}}}\)
\(P(N \ge 1|N \le 4) = \frac{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}}{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}}\)
\(P(N \ge 1|N \le 4) = \frac{2}{5}\) |
Jawaban |
b. 2/5 |