Pembahasan Ujian PAI: A20 – No. 19 – Mei 2017

29 August 2018

by Abinaila Taim

with no comment

A20 - Probabilitas dan Statistika Aktuaria Edukasi Pembahasan Ujian Profesi Aktuaris (Persatuan Aktuaris Indonesia / PAI)

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	A20 – Probabilitas dan Statistika
Periode Ujian	:	Mei 2017
Nomor Soal	:	19

SOAL
Misalkan X₁ dan X₂ adalah dua peubah acak saling bebas berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi 1. Jika [c|X₁− X₂|] = 1, maka nilai c adalah

\(\sqrt \pi \)
\(\frac{1}{{\sqrt \pi }}\)
\(\frac{{\sqrt {2\pi } }}{4}\)
\(\frac{2}{{\sqrt \pi }}\)
\(\frac{{\sqrt \pi }}{2}\)

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	X₁ dan X₂ ~ Normal (1,1)
Misalkan	Y = X₁− X₂Y ~ Normal (0,2)\({f_Y}(y) = \frac{1}{{\sqrt 2 \sqrt {2\pi } }}{e^{ – (\frac{{{y^2}}}{{2(2)}})}}\) \({f_Y}(y) = \frac{1}{{2\sqrt \pi }}{e^{ – \frac{{{y^2}}}{4}}}, – \infty < y < \infty \)
Step 1	\(E[c\|X1 – X2\|] = 1\) \(cE[\|Y\|] = 1\) \(c = \frac{1}{{E[\|Y\|]}}\)
Step 2	\(E[\|Y\|] = 2\int\limits_0^\infty y (\frac{1}{{2\sqrt \pi }}{e^{ – \frac{{{y^2}}}{4}}})dy\) \(E[\|Y\|] = \frac{2}{{2\sqrt \pi }}\int\limits_0^\infty {y({e^{ – \frac{{{y^2}}}{4}}}} )dy\)Misalkan \(t = \frac{{{y^2}}}{4},y = 2\sqrt t ,\frac{{dy}}{{dt}} = {t^{ – (\frac{1}{2})}}\) \(E[\|Y\|] = \frac{1}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^\infty {2\sqrt t ({e^{ – t}}} )\frac{{dt}}{{\sqrt t }}\) \(E[\|Y\|] = \frac{2}{{\sqrt \pi }}(( – 1)(0 – 1))\) \(E[\|Y\|] = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\)
Step 3	\(c = \frac{1}{{E[\|Y\|]}}\) \(c = \frac{1}{{\frac{2}{{\sqrt \pi }}}}\) \(c = \frac{{\sqrt \pi }}{2}\)
Jawaban	e. \(\frac{{\sqrt \pi }}{2}\)

Trending Topic

Leave A Comment Cancel reply

Most View

Random Post