Pembahasan Ujian PAI: A10 – No. 06 – Juli 2024

$$A(t) = A(0)\,e^{\int_{0}^{t} \delta_{s}\,ds}$$
$$A(t) = A(0)(1 + i)^{t}$$
$$(1 + i)^{t} = \left(1 + \frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}$$

Nilai akumulasi dana (Future Value atau Accumulated Value) menggunakan tingkat bunga efektif tahunan:

$$A(t) = A(0)(1 + i)^{t}$$

Hubungan tingkat bunga efektif tahunan dengan tingkat bunga nominal m-thly:

$$(1 + i)^{t} = \left(1 + \frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}$$

$$A(t)_{A} = A(t)_{B}$$

Dicari terlebih dahulu tingkat bunga efektif tahunan pada dana A yang sepadan dengan tingkat bunga nominalnya:

$$i = \left(1 + \frac{12\%}{12}\right)^{12} – 1$$
$$i = (1{,}01)^{12} – 1 = 0{,}126825$$

Selanjutnya diselesaikan persamaan berikut:

$$A(t)_{A} = A(t)_{B}$$
$$(1 + i)^{t} = e^{\int_{0}^{t} \delta_{s}\,ds}$$
$$(1{,}126825)^{t} = e^{\int_{0}^{t} \frac{s}{6}\,ds}$$
$$(1{,}126825)^{t} = e^{\left[\frac{s^{2}}{12}\right]_{0}^{t}}$$
$$(1{,}126825)^{t} = e^{\frac{t^{2}}{12}}$$
$$t \times \ln(1{,}126825) = \frac{t^{2}}{12}$$
$$\ln(1{,}126825) = \frac{t}{12}$$
$$t = 12 \times \ln(1{,}126825)$$
$$t = 1{,}432848 \approx 1{,}43$$

Jadi, waktu selanjutnya dimana kedua dana tersebut memiliki nilai yang sama yakni 1,43 tahun.