26 April, 2024

Pembahasan Ujian PAI: A20 – No. 12 – November 2018

23 January 2019

by Abinaila Taim

with no comment

A20 - Probabilitas dan Statistika Aktuaria Edukasi Pembahasan Ujian Profesi Aktuaris (Persatuan Aktuaris Indonesia / PAI)

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Probabilitas dan Statistika
Periode Ujian	:	November 2018
Nomor Soal	:	12

SOAL

Misalkan X merupakan suatu variable acak diskrit dengan fungsi peluang

\(P\left[ {X = x} \right] = \frac{2}{{{3^x}}}\) untuk \(x = 1,2,3,…\)

Berapa peluang bahwa \(X\) adalah genap ?

\(\frac{1}{4}\)
\(\frac{2}{7}\)
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{3}{4}\)

Step 1	Untuk nilai X adalah bilangan genap (2,4,6,..) \(\Pr [X = x\|x\,\,nilai\,genap] = \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{2}{{{3^4}}} + \frac{2}{{{3^6}}} + …\) \(\Pr [X = x\|x\,\,nilai\,genap] = 2\left( {\frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^4}}} + \frac{1}{{{3^6}}} + ….} \right)\)
Step 2	\(\left( {\frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^4}}} + \frac{1}{{{3^6}}} + ….} \right)\, \sim \,\,Deret\,Geometrik\,Tak\,Hingga\,(a = \frac{1}{{{3^2}}},r = \frac{1}{{{3^2}}})\) \({S_\infty } = \left( {\frac{{\frac{1}{{{3^2}}}}}{{1 – \frac{1}{{{3^2}}}}}} \right)\) \({S_\infty } = \left( {\frac{{\frac{1}{9}}}{{\frac{8}{9}}}} \right)\) \({S_\infty } = \frac{1}{8}\)
Maka	\(\Pr [X = x\|x\,\,nilai\,genap] = 2\left( {\frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^4}}} + \frac{1}{{{3^6}}} + ….} \right)\) \(\Pr [X = x\|x\,\,nilai\,genap] = 2\left( {\frac{1}{8}} \right)\) \(\Pr [X = x\|x\,\,nilai\,genap] = \frac{1}{4}\)
Jawaban	a. \(\frac{1}{4}\)