Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
Mata Ujian |
: |
Matematika Keuangan |
Periode Ujian |
: |
Agustus 2019 |
Nomor Soal |
: |
7 |
SOAL
Sebuah perpetuitas tahunan memberikan pembayaran pertama terhitung satu tahun dari sekarang. Besar pembayaran untuk setiap akhir tahun keempat adalah 700, untuk akhir tahun lainnya adalah 1.000. Jika tingkat bunga efektif adalah 8%, tentukan nilai kini perpetuitas ini. Bulatkan jawaban ke satuan terdekat.
- 13.332
- 12.916
- 12.500
- 12.084
- 11.668
Diketahui |
- Besar pembayaran untuk setiap akhir tahun keempat = 700
- Besar pembayaran untuk setiap akhir tahun selain tahun keempat = 1000
- I = 8%
|
Rumus yang digunakan |
\(PV = v + {v^2} + {v^3} + … + {v^n}\)
\(1 + r + {r^2} + …. = \frac{1}{{1 – r}},\left| r \right| < 1\) |
Proses pengerjaan |
\(PV = 1.000v + 1.000{v^2} + 1.000{v^3} + 700{v^4} + 1.000{v^5} + \)
\(1.000{v^6} + 1.000{v^7} + 700{v^8} + 1.000{v^9}…\)dapat diubah menjadi:
\(PV = 1.000(v + {v^2} + {v^3} + {v^4} + {v^5} + …) – \)
\(1.000({v^4} + {v^8} + {v^{12}} + {v^{16}} + …) + 700({v^4} + {v^8} + {v^{12}} + {v^{16}} + …)\)\(PV = 1.000v(1 + v + {v^2} + {v^3} + {v^4} + …) – \)
\(1.000{v^4}(1 + {v^4} + {v^8} + {v^{12}} + …) + 700{v^4}(1 + {v^4} + {v^8} + {v^{12}} + …)\)
\(PV = 1.000v(1 + v + {v^2} + {v^3} + {v^4} + …) – \)
\(300{v^4}(1 + {v^4} + {v^8} + {v^{12}} + …)\)
\(PV = \frac{{1.000v}}{{(1 – v)}} – \frac{{300{v^4}}}{{(1 – {v^4})}}\)
\(PV = \frac{{1.000{{(1 + 8\% )}^{ – 1}}}}{{(1 – {{(1 + 8\% )}^{ – 1}})}} – \frac{{300{{(1 + 8\% )}^{ – 4}}}}{{(1 – {{(1 + 8\% )}^{ – 4}})}}\)
\(PV = 11.667 \approx 11.668\) |
Jawaban |
e. 11.668 |