Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Keuangan |
| Periode Ujian |
: |
November 2017 |
| Nomor Soal |
: |
26 |
SOAL
Sebuah obligasi dengan nilai par US $ 1.000 selama n tahun, jatuh tempo pada nilai par dan mempunyai tingkat kupon 12% yang di konversikan setiap setengah tahun. Obligasi ini dibeli untuk memberikan tingkat imbal hasil (yield rate) 10% dikonversikan setengah tahunan. Bila masa waktu dari obligasi ini digandakan (doubled) harga akan naik sebesar US $ 50. Hitunglah harga dari obligasi n tahun tersebut. Pilihlah jawaban yang paling mendekati!
- US$ 900
- US$ 950
- US$ 1.000
- US$ 1.100
- US$ 1.200
| Diketahui |
\(F = C = \$ 1.000\)
\(r = \frac{{12\% }}{2} = 6\% \)
\({i^{(2)}} = 10\% \)
\(\frac{{{i^{(2)}}}}{2} = 5\% \) |
| Rumus yang digunakan |
\(P = Fr{a_{\left. {\overline {\, k \,}}\! \right| {\rm{ }}i}} + C{v^k}\) |
| Proses pengerjaan |
\(P = Fr{a_{\left. {\overline {\, k \,}}\! \right| {\rm{ }}i}} + C{v^k}\)
\(P = 1000(0,06)\left[ {\frac{{1 – {{(1,05)}^{ – k}}}}{{0,05}}} \right] + 1000{(1,05)^{ – k}}\)
\(P = 1200 – 200{(1,05)^{ – k}}…..persamaan{\rm{ }}(1)\)
Jika masa waktu dari obligasi digandakan menjadi 2k, maka kita peroleh:
\(P + 50 = 1200 – 200{(1,05)^{ – 2k}}\)
\(P = 1150 – 200{(1,05)^{ – 2k}}…..persamaan{\rm{ }}(2)\)
Dari Persamaan (1) dan Persamaan (2) kita dapatkan
\(1200 – 200{(1,05)^{ – k}} = 1150 – 200{(1,05)^{ – 2k}}\)
\({(1,05)^{2k}} – 4{(1,05)^k} + 4 = 0\)
Misalkan \(x = {\rm{ }}{(1,05)^k}\), maka persamaan di atas bisa kita tuliskan kembali menjadi:
\({x^2} – 4x + 4 = 0\)
\({(x – 2)^2} = 0\)
\(x = 2\)
\(x = 2 = {\rm{ }}{(1,05)^k}\)
\(k = \frac{{ln(2)}}{{ln(1,05)}} = 14,2\)
\(P = 1200 – 200{(1,05)^{ – k}}\)
\(P = 1200 – 200{(1,05)^{ – 14,2}}\)
\(P = 1099,9673 \approx 1100\) |
| Jawaban |
d. US$ 1.100 |
