Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Diberikan data sebagai berikut:
- Sampel kerugian berukuran 15 adalah sbb:
11 22 22 22 36 51 69 69 69 92 92 120 161 161 230 - \({\hat H_1}\left( x \right)\) adalah taksiran empiris Nelson Aalen dari fungsi kumulatif hazard rate.
- \({\hat H_2}\left( x \right)\) adalah taksiran maksimum likelihood dari fungsi kumulatif hazard rate dengan asumsi sampel diambil dari sebuah distribusi exponensial.
Hitung \(\left| {{{\hat H}_2}\left( {75} \right) – {{\hat H}_1}\left( {75} \right)} \right|\)
- 0,11
- 0,22
- 0,33
- 0,44
- 0,55
| Diketahui | Diberikan data sebagai berikut:
|
||||||||||||||||||
| Rumus yang digunakan | Nelson-Aalen: \(\begin{array}{*{20}{c}} {\hat H\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^{j – 1} {\frac{{{s_i}}}{{{r_i}}}} }&{{y_{j – 1}} \le t < {y_j}} \end{array}\) Maximum Likelihood Exponential; \(\hat \theta = \bar x = \frac{{\sum {{x_i}} }}{n}\); \(S\left( x \right) = \exp \left[ { – \frac{x}{\theta }} \right]\); \(H\left( x \right) = – \ln \left( {S\left( x \right)} \right)\) | ||||||||||||||||||
| Proses pengerjaan | Untuk \(t = 15\) diperoleh tabel mortalita
|
||||||||||||||||||
| \({\hat H_1}\left( {75} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{j – 1} {\frac{{{s_i}}}{{{r_i}}}} = \frac{1}{{15}} + \frac{3}{{14}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{10}} + \frac{3}{9} = 0.805195\) | |||||||||||||||||||
| \(\hat \theta = \frac{{11 + 3\left( {22} \right) + 36 + 51 + 3\left( {69} \right) + 2\left( {92} \right) + 120 + 2\left( {161} \right) + 230}}{{15}} = \frac{{1227}}{{15}} = 81.8\) \({\hat H_2}\left( {75} \right) = – \ln \left( {\exp \left[ { – \frac{{75}}{{81.8}}} \right]} \right) = 0.916870\) | |||||||||||||||||||
| \(\left| {{{\hat H}_2}\left( {75} \right) – {{\hat H}_1}\left( {75} \right)} \right| = \left| {0.916870 – 0.805195} \right| = 0.111675\) | |||||||||||||||||||
| Jawaban | a. 0,11 |